Giải bài 3 trang 45 – SGK Hình học lớp 10
Cho nửa đường tròn tâm \(O\) có đường kính \(AB=2R\). Gọi \(M\) và \(N\) là hai điểm thuộc nửa đường tròn sao cho hai dây cung \(AM\) và \(BN\) cắt nhau tại \(I\).
a) Chứng minh \(\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{BI}.\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{BI}.\overrightarrow{BA};\)
b) Hãy dùng kết quả câu a) để tính \(\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BI}.\overrightarrow{BN}\) theo \(R\).
Hướng dẫn:
Áp dụng công thức tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow a; \overrightarrow b\) khác \(\overrightarrow 0\) là: \(\overrightarrow a . \overrightarrow b =|\overrightarrow a||\overrightarrow b| \cos (\overrightarrow a, \overrightarrow b)\)
Ta có:
\(\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AI}.\left( \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM} \right)=\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{BM}\)(1)
Lại có: \(\widehat{AMB}=90^o\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
\(\Rightarrow AI\,\bot\,BM\\ \Rightarrow \overrightarrow{AI} .\overrightarrow{BM}=0\,\, (2)\)
Từ (1) và (2), ta có: \(\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AB}\)
Chứng minh tương tự, ta được: \(\overrightarrow{BI}.\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{BI}.\overrightarrow{BA}\)
b) Áp dụng kết quả câu a) ta có:
\(\begin{aligned} & \overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BI}.\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BI}.\overrightarrow{BA} \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BI}.\overrightarrow{AB} \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\left( \overrightarrow{AI}-\overrightarrow{BI} \right).\overrightarrow{AB} \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AB} \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=A{{B}^{2}} \\ &\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=4{{R}^{2}} \\ \end{aligned} \)
Ghi nhớ:
Nếu góc giữa hai vectơ là \(90^o\) thì tích vô hướng của hai vectơ bằng 0.