Giải bài 3 trang 80 – SGK Hình học lớp 10
Cho tam giác ABC, biết \(A(1;4),B(3;-1)\) và \(C(6;2).\)
a) Lập phương trình tổng quát của các đường thẳng \(AB,BC\) và \(CA.\)
b) Lập phương trình tổng quát của đường cao \(AH\) và trung tuyến \(AM\).
a) +) Ta có \(\overrightarrow{AB}=\left( 2;-5 \right)\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{AB}}}=\left( 5;2 \right)\)
Đường thẳng AB đi qua A nhận \(\overrightarrow{n}=\left( 5;2 \right)\) là vec tơ pháp tuyến có phương trình
\(\begin{aligned} & 5\left( x-1 \right)+2\left( y-4 \right)=0 \\ & \Leftrightarrow 5x+2y-13=0 \\ \end{aligned} \)
+) Tương tự \(\overrightarrow{AC}=\left( 5;-2 \right)\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{AC}}}=\left( 2;5 \right)\)
Đường thẳng AC đi qua A nhận \(\overrightarrow{n}=\left( 2;5 \right)\) là vec tơ pháp tuyến có phương trình
\(\begin{aligned} & 2\left( x-1 \right)+5\left( y-4 \right)=0 \\ & \Leftrightarrow 2x+5y-22=0 \\ \end{aligned} \)
+) Ta có \(\overrightarrow{BC}=\left( 3;3 \right)\Rightarrow \overrightarrow{n}=\left( 1;-1 \right)\)
Đường thẳng BC đi qua B nhận \(\overrightarrow{n}=\left( 1;-1 \right)\) là vec tơ pháp tuyến có phương trình
\(\begin{aligned} & x-3-\left( y+1 \right)=0 \\ & \Leftrightarrow x-y-4=0 \\ \end{aligned} \)
b) +) Vì \(AH\bot BC\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{AH}}}=\overrightarrow{BC}=\left( 3;3 \right)=3\left( 1;1 \right)\)
Đường thẳng AH đi qua A nhận \(\overrightarrow{n}=\left( 1;1 \right)\) là vec tơ pháp tuyến có phương trình
\(\begin{aligned} & x-1+y-4=0 \\ & \Leftrightarrow x+y-5=0 \\ \end{aligned}\)
+) Tọa độ trung điểm M của BC là \(M\left( \dfrac{9}{2};\dfrac{1}{2} \right)\)
Ta có: \(\overrightarrow{AM}=\left( \dfrac{7}{2};-\dfrac{7}{2} \right)\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{AM}}}=\left( 1;1 \right) \)
Đường thẳng AM đi qua A nhận \(\overrightarrow{n}=\left( 1;1 \right)\) là vec tơ pháp tuyến có phương trình
\(\begin{aligned} & x-1+y-4=0 \\ & \Leftrightarrow x+y-5=0 \\ \end{aligned}\)
Ghi nhớ:
Nếu hai đường thẳng song song thì chúng có cùng vec tơ chỉ phương và cùng vec tơ pháp tuyến.
Nếu hai đường thẳng vuông góc với nhau thì vectơ chỉ phương của đường thẳng này là vectơ pháp tuyến của đường thẳng kia.
Nếu \(\overrightarrow{a}\bot \overrightarrow{b}\Leftrightarrow \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0 \)