Giải bài 8 trang 93 – SGK Hình học lớp 10
Tìm góc gữa hai đường thẳng \({{\Delta }_{1}} \) và \({{\Delta }_{2}}\) trong các trường hợp sau:
a) \({{\Delta }_{1}}:2x+y-4=0 \) và \({{\Delta }_{2}}:5x-2y+3=0;\)
b) \({{\Delta }_{1}}:y=-2x+4\) và \({{\Delta }_{2}}:y=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{2}.\)
Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai đường thẳng
a) Ta có \(\overrightarrow{{{n}_{{{\Delta }_{1}}}}}=\left( 2;1 \right),\overrightarrow{{{n}_{{{\Delta }_{2}}}}}=\left( 5;-2 \right)\)
\(\begin{aligned} & \Rightarrow \cos \varphi =\dfrac{\left| \overrightarrow{{{n}_{{{\Delta }_{1}}}}}.\overrightarrow{{{n}_{{{\Delta }_{2}}}}} \right|}{\left| \overrightarrow{{{n}_{{{\Delta }_{1}}}}} \right|.\left| \overrightarrow{{{n}_{{{\Delta }_{2}}}}} \right|}=\dfrac{\left| 2.5+1.\left( -2 \right) \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{1}^{2}}}.\sqrt{{{5}^{2}}+{{\left( -2 \right)}^{2}}}}=\dfrac{8}{\sqrt{145}} \\ & \Rightarrow \varphi \approx {{48}^{o}}22' \\ \end{aligned}\)
b) Ta có \({{\Delta }_{1}}:2x+y-4=0\) và \({{\Delta }_{2}}:x-2y+3=0\)
Suy ra \(\overrightarrow{{{n}_{{{\Delta }_{1}}}}}=\left( 2;1 \right),\overrightarrow{{{n}_{{{\Delta }_{2}}}}}=\left( 1;-2 \right)\)
\(\begin{aligned} & \Rightarrow \cos \varphi =\dfrac{\left| \overrightarrow{{{n}_{{{\Delta }_{1}}}}}.\overrightarrow{{{n}_{{{\Delta }_{2}}}}} \right|}{\left| \overrightarrow{{{n}_{{{\Delta }_{1}}}}} \right|.\left| \overrightarrow{{{n}_{{{\Delta }_{2}}}}} \right|}=\dfrac{\left| 2.1+1.\left( -2 \right) \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{1}^{2}}}.\sqrt{{{1}^{2}}+{{\left( -2 \right)}^{2}}}}=0 \\ & \Rightarrow \varphi = {{90}^{o}} \\ \end{aligned}\)
Ghi nhớ:
Cho hai đường thẳng \(d:{{a}_{1}}x+{{b}_{1}}y+{{c}_{1}}=0\) và \(d':{{a}_{2}}x+{{b}_{2}}y+{{c}_{2}}=0\).Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai đường thẳng d và d. Khi đó \(\cos \alpha =\dfrac{\left| {{a}_{1}}{{a}_{2}}+{{b}_{1}}{{b}_{2}} \right|}{\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}}.\sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}}\)