Giải bài 2 trang 104 – SGK môn Hình học lớp 11
Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và BCD là hai tam giác cân có chung cạnh đáy BC. Gọi I là trung điểm của cạnh BC.
a) Chứng minh rằng BC vuông góc với mặt phẳng (ADI)
b) Gọi AH là đường cao của tam giác ADI, chứng minh rằng AH vuông góc với mặt phẳng (BCD).
Gợi ý:
Để chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, ta chứng minh đường thẳng đó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng.
a) Theo đề bài ta có: ABC và DBC là các tam giác cân tại A, D và I là trung điểm của BC.
Suy ra: \(AI\bot BC; DI\bot BC\)
Ta có:
\(\left\{ \begin{align} & BC\bot DI \\ & BC\bot AI \\ & AI,DI\subset \left( ADI \right) \\ & AI\cap DI=I \\ \end{align} \right.\Rightarrow BC\bot \left( ADI \right) \)
b) Ta có:\( \left\{ \begin{align} & BC\bot \left( ADI \right) \\ & AH\subset \left( ADI \right) \\ \end{align} \right.\Rightarrow BC\bot AH\,\,\, (1)\)
Lại có \(AH\) là đường cao của tam giác \(ADI\). Suy ra: \(AH\bot ID \,\,\,(2)\)
Từ (1) và (2), suy ra: \(\left\{ \begin{align} & AH\bot ID \\ & AH\bot BC \\ & ID,BC\subset \left( BCD \right) \\ & ID\cap BC=I \\ \end{align} \right.\Rightarrow AH\bot \left( BCD \right) \)
Ghi nhớ:
- Để chứng minh đường thẳng \(a \bot (\alpha)\) ta thực hiện chứng minh:
\(\left\{ \begin{align} & a\bot b \\ & a\bot c \\ & b,c\subset \left( \alpha \right) \\ & b\cap c\ne \varnothing \\ \end{align} \right.\)
- Nếu đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng.