Giải bài 7 trang 105 – SGK môn Hình học lớp 11
Cho tứ diện SABC có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và có tam giác ABC vuông tại B. Trong mặt phẳng (SAB) kẻ AM vuông góc với SB tại M. Trên cạnh SC lấy điểm N sao cho \(\dfrac{SM}{SB}=\dfrac{SN}{SC}\). Chứng minh rằng:
a) \(BC\bot \left( SAB \right)\) và \(AM\bot \left( SBC \right) \)
b) \(SB\bot AN \)
Hướng dẫn:
Để chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ta chứng minh đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng
Để chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong không gian, ta chứng minh một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng còn lại.
a)
Ta có: \(SA\bot \left( ABC \right)\Rightarrow SA\bot BC \)
Lại có: \(BC\bot AB\) do tam giác ABC vuông tại B.
Do vậy \(BC\bot \left( SAB \right) \)
Vì \(\left\{ \begin{align} & BC\bot \left( SAB \right) \\ & AM\subset \left( SAB \right) \\ \end{align} \right.\Rightarrow BC\bot AM\)
Lại có \(AM\bot SB\) (giả thiết)
Suy ra \(AM\bot \left( SBC \right) \)
b) Ta có: \(\dfrac{SM}{SB}=\dfrac{SN}{SC}\) nên theo định lý Ta lét đảo: \(MN//BC\)
Mà \(BC \bot (SAB)\) nên \(MN\bot (SAB)\)
Suy ra \(MN \bot SB\)
Lại có \(SB\bot AM\) (giả thiết)
Suy ra \(SB\bot (AMN)\)
Do vậy \( SB\bot AN\)