Giải bài 2 trang 125 – SGK môn Hình học lớp 11

Gợi ý:

Sử dụng kiến thức Chương 1: Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng

a) Ta có:

\(\begin{aligned} & \overrightarrow{GA'}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{GA}; \\ & \overrightarrow{GB'}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{GB}; \\ & \overrightarrow{GC'}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{GC} \\ \end{aligned} \)

Vậy phép vị tự tâm G tỉ số \(k=\dfrac{-1}{2}\)  biến \(A, B, C\) thành \(A’, B’, C’\)

b) A’ là trung điểm của dây BC nên \(OA'\bot BC \)

Ta có: \(BC//C'B'\Rightarrow OA'\bot B'C' \)

Suy ra, trong tam giác A’B’C’ thì OA’ là đường cao kẻ từ A’.

Tương tự, OB’ là đường cao kẻ từ B’, suy ra O là trực tâm của tam giác \(A’B’C’.\)

H là trực tâm của tam giác ABC và O là trực tâm của tam giác A’B’C’ nên O là ảnh của H trong phép vị tự tâm G tỉ số \(k=-\dfrac{1}{2}\)

Suy ra \( \overrightarrow{GO}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{GH} \)

Do vậy, ba điểm \(O, G, H \) thẳng hàng.

c) Gọi O’ là ảnh của O trong phép vị tự \({{F}_{\left( G;-\frac{1}{2} \right)}}\) ta có:

\(\begin{aligned} & \overrightarrow{GO'}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{GO}; \\ & \overrightarrow{GO}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{GH}\Rightarrow \overrightarrow{OG}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{GH} \\ & \overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GO'}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{GH}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{GO} \\ & \Rightarrow \overrightarrow{OO'}=\dfrac{1}{2}\left( \overrightarrow{GH}-\overrightarrow{GO} \right) \\ & \Rightarrow \overrightarrow{OO'}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{OH} \\ \end{aligned} \)

Đẳng thức này chứng tỏ điểm O’ là trung điểm của đoạn thẳng OH.

d) Gọi \(A’’, B’’, C’’\) lần lượt là trung điểm của \(AH, BH, CH\) ta có:

\(\begin{aligned} & \overrightarrow{HA''}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{HA} \\ & \overrightarrow{HB''}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{HB} \\ & \overrightarrow{HC}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{HC} \\ \end{aligned}\)

Vậy \(A’’, B’’, C’’\) là ảnh của các điểm \(A, B, C\) trong phép vị tự \({{V}_{\left( H;\frac{1}{2} \right)}} \)

Ta dễ dàng chứng minh được \(A{{'}_{1}},B{{'}_{1}},C{{'}_{1}}\)  theo thứ tự là trung điểm của \(H{{A}_{1}},H{{B}_{1}},H{{C}_{1}}\)  nên 

\(\begin{aligned} & \overrightarrow{HA_{1}^{'}}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{H{{A}_{1}}} \\ & \overrightarrow{HB_{1}^{'}}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{H{{B}_{1}}} \\ & \overrightarrow{HC_{1}^{'}}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{H{{C}_{1}}} \\ \end{aligned} \)

Như vậy \(A{{'}_{1}},B{{'}_{1}},C{{'}_{1}}\)  theo thứ tự là ảnh của các điểm \( {{A}_{1}},{{B}_{1}},{{C}_{1}} \)

e) Gọi \(A_2, B_2, C_2\) lần lượt là điểm đối xứng của \(A, B, C\) qua O.

Ta dễ dàng chứng minh được: \(BHCA_2, AHCC_2, CHAB_2\) là các hình bình hành.

Nên \( A'\) là trung điểm \(HA_2\); \(B'\) là trung điểm \(HB_2\), \(C'\) là trung điểm \(HC_2\).

Khi đó:

\(\begin{aligned} & \overrightarrow{HA^{'}}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{H{{A}_{2}}} \\ & \overrightarrow{HB^{'}}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{H{{B}_{2}}} \\ & \overrightarrow{HC^{'}}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{H{{C}_{2}}} \\ \end{aligned} \)

Hay \(A', B',C'\) là ảnh của \(A_2, B_2, C_2\)qua phép vị tự \({{V}_{\left( H;\frac{1}{2} \right)}} \)

Từ đó 9 điểm \(A', B',C', A'', B'', C'', A'_1, B'_1, C'_1\) lần lượt là ảnh của \( A_2, B_2, C_2, A, B, C, A_1, B_1, C_1\) qua phép vị tự \({{V}_{\left( H;\frac{1}{2} \right)}} \)

Mà \( A_2, B_2, C_2, A, B, C, A_1, B_1, C_1\) thuộc đường tròn (O) nên \(A', B',C', A'', B'', C'', A'_1, B'_1, C'_1\) thuộc đường tròn (\(O_1\)) với \(O_1\) là ảnh của O qua phép vị tự \({{V}_{\left( H;\frac{1}{2} \right)}} \)