Giải bài 7 trang 126 – SGK môn Hình học lớp 11
Cho hình thang ABCD vuông tại A và B có \(AD=2a, AB=BC=a\). Trên tia Ax vuông góc với mặt phẳng (ABCD) lấy một điểm S. Gọi C’D’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SC và SD.
Chứng minh rằng:
a) \(\widehat{SBC}=\widehat{SCD}=90^o\)
b) AD’, AC’ và AB cùng nằm trên một mặt phẳng.
c) Chứng minh rằng đường thẳng C’D’ luôn đi qua một điểm cố định khi S di động trên Ax.
Lời giải:
Gợi ý:
Nếu đường một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì nó vuông góc với mọi đường thẳng trong mặt phẳng.
b) Chứng minh ba đường thẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng.
a) Ta có:
\(\begin{aligned} & \left\{ \begin{aligned} & BC\bot AB \\ & BC\bot SA \\ \end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SAB \right)\Rightarrow BC\bot SB \\ & \Rightarrow \widehat{SBC}={{90}^{o}} \\ \end{aligned} \)
Gọi K là trung điểm của AD.
Ta có: \(CK=AB=\dfrac{1}{2}AD\)
Nên tam giác ACD vuông tại C.
Ta có:
\(\begin{aligned} & \left\{ \begin{aligned} & CD\bot AC \\ & CD\bot SA \\ \end{aligned} \right.\Rightarrow CD\bot \left( SAC \right)\Rightarrow CD\bot SC \\ & \Rightarrow \widehat{SCD}={{90}^{o}} \\ \end{aligned} \)
b) Trong mặt phẳng \((SAC)\) vẽ \(AC’ \bot SC\) và trong mặt phẳng \((SAD)\) vẽ \(AD'\bot SD\)
Ta có: \(AC’\bot CD\) (vì \(CD\bot (SAC)\))
Và \(AC’ \bot SC\) nên \(AC’\bot (SCD) \) suy ra \(AC’\bot SD\)
Ta lại có \(\left\{ \begin{aligned} & AB\bot AD \\ & AB\bot SA \\ \end{aligned} \right.\Rightarrow AB\bot \left( SAD \right)\Rightarrow AB\bot SD \)
Ba đường thẳng \(AD’, AC’\) và \(AB\) cùng đi qua \(A\) và vuông góc với \(SD\) nên cùng thuộc mặt phẳng (\(\alpha\)) qua \(A\) và vuông góc với \(SD\).
c) Ta có \(C’D’\) là giao tuyến của (\(\alpha\)) và \((SCD)\).
Gọi \(I \) là giao điểm của \(AB\) và \(CD\) trên mặt phẳng \((ABCD)\)
\(\left\{ \begin{aligned} & AB\subset \left( \alpha \right) \\ & CD\subset \left( SCD \right) \\ \end{aligned} \right.\Rightarrow I\in \left( \alpha \right)\cap \left( SCD \right)=C'D' \)
Do đó khi \(S\) di động trên \(Ax\) thì \(C’D’\) luôn đi qua một điểm \(I \) cố định là giao điểm của \(AB\) và \(CD\).
Tham khảo lời giải các bài tập Bài tập ôn tập cuối năm khác
Giải bài 1 trang 125 – SGK môn Hình học lớp 11 Trong mặt phẳng tọa...
Giải bài 2 trang 125 – SGK môn Hình học lớp 11 Cho tam giác ABC nội...
Giải bài 3 trang 126 – SGK môn Hình học lớp 11 Cho hình...
Giải bài 4 trang 126 – SGK môn Hình học lớp 11 Cho hình lăng trụ tứ...
Giải bài 5 trang 126 – SGK môn Hình học lớp 11 Cho hình lập phương...
Giải bài 6 trang 126 – SGK môn Hình học lớp 11 Cho hình lập phương...
Giải bài 7 trang 126 – SGK môn Hình học lớp 11 Cho hình thang ABCD vuông...
+ Mở rộng xem đầy đủ