Giải bài 6 trang 98 – SGK môn Hình học lớp 11
Trong không gian cho hai hình vuông ABCD và ABC'D' có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau, lần lượt có tâm O và O'. Chứng minh rằng \(AB ⊥OO'\) và CDD'C' là hình chữ nhật.
Hướng dẫn:
Để chứng minh AB vuông góc với OO' ta chứng minh \( \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{OO'}=0\)
Ta có: \(AO=AO';\,\left( \overrightarrow{AO},\overrightarrow{AB} \right)=\left( \overrightarrow{AO'},\overrightarrow{AB} \right)={{45}^{o}} \)
Do vậy:
\( \begin{aligned} & \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{OO'}=\overrightarrow{AB}\left( \overrightarrow{AO'}-\overrightarrow{AO} \right) \\ & =\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AO'}-\overrightarrow{AB.}\overrightarrow{AO} \\ & =AB.AO'.\cos {{45}^{o}}-AB.AO.\cos {{45}^{o}}=0 \\ \end{aligned} \)
Suy ra: \(AB\bot OO'\)
Ta có: \(\left\{ \begin{aligned} & CD//AB;\,CD=AB \\ & C'D'//AB;\,C'D'=AB \\ \end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned} & CD//C'D' \\ & CD=C'D' \\ \end{aligned} \right. \)
Vậy CDD’C’ là hình bình hành.
Mặt khác ta có: \(\left\{ \begin{aligned} & CC'//OO' \\ & C'D'//AB \\ & OO'\bot AB \\ \end{aligned} \right.\Rightarrow CC'\bot C'D' \)
Vậy CDD’C’ là hình chứ nhật.