Giải bài 3 trang 51 – SGK môn Hình học lớp 12
Hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại A, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và \(SA = a, AB = b, AC = c\). Mặt cầu đi qua các đỉnh \(A, B, C, S\) có bán kính \(r\) bằng:
(A) \(\dfrac{2\left( a+b+c \right)}{3}\); (B) \(2\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}\); (C) ; \(\dfrac{1}{2}\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}\) (D) \(\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}\).
Gọi M là trung điểm của BC. Suy ra M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Từ M kẻ trục của đáy cắt đường trung trực của SA tại I.
Ta có I thuộc trục của đáy nên IA = IB = IC.
I thuộc trung trực của SA nên IS = IA.
Vậy I là tâm đường tròn ngoại tiếp hình chóp SABC có bán kính IS.
SM là trung tuyến trong tam giác vuông nên \(AM=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{\sqrt{SAB^2+AC^2}}{2}=\dfrac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}\)
AMIH là hình chữ nhật nên \(MI=\dfrac{SA}{2}=\dfrac{c}{2}\)
Bán kính mặt cầu là \(AI=\sqrt{AM^2+MI^2}=\dfrac{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}{2}\)
Chọn (C)
Nhận xét:
Từ bài toán trên ta có: bán kính mặt cầu đi qua 4 đỉnh của hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và \(SA = a, AB = b, AC = c\) là: \(\dfrac{1}{2}\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}\)