Giải bài 3.1 trang 107 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11
a) \(2+5+8+...+(3n-1)=\dfrac{n(3n+1)}{2}\) (1)
Đặt \({{S}_{n}}=2+5+8+...+(3n-1) \)
Với \(n=1\) ta có: \({{S}_{1}}=2=\dfrac{1\left( 3.1+1 \right)}{2} \)
Giả sử (1) đúng với \(n=k (k \ge 1)\), tức là \({{S}_{k}}=2+5+8+...+(3k-1)=\dfrac{k\left( 3k+1 \right)}{2} \)
Ta chứng minh (1) đúng với \(n=k+1\) hay \({{S}_{k+1}}=\dfrac{\left( k+1 \right)\left( 3k+4 \right)}{2} \)
Thật vậy ta có:
\(\begin{align} & {{S}_{k+1}}=2+5+8+...+\left( 3k-1 \right)+\left[ 3\left( k+1 \right)-1 \right] \\ & ={{S}_{k}}+3k+2 \\ & =\dfrac{k\left( 3k+1 \right)}{2}+3k+2 \\ & =\dfrac{3{{k}^{2}}+k+6k+4}{2} \\ & =\dfrac{3{{k}^{2}}+7k+4}{2}=\dfrac{\left( k+1 \right)\left( 3k+4 \right)}{2} \\ \end{align} \)
Vậy (1) đúng với mọi \(k\ge 1\) hay (1) đúng với mọi \(n\in \mathbb N^*\)
b) \(3+9+27+...+3^n=\dfrac{1}{2}(3^{n+1}-3)\) (2)
Đặt \({{S}_{n}}=3+9+27+...+{{3}^{n}}=\dfrac{1}{2}\left( {{3}^{n+1}}-3 \right) \)
Với \(n=1\), ta có: \({{S}_{1}}=3=\dfrac{1}{2}\left( {{3}^{2}}-3 \right)\) (hệ thức đúng)
Giả sử (2) đúng với \(n=k (k\ge 1)\) tức là \({{S}_{k}}=3+9+27+...+{{3}^{k}}=\dfrac{1}{2}\left( {{3}^{k+1}}-3 \right)\)
Ta chứng minh (2) đúng với \(n=k+1\), tức là chứng minh \({{S}_{k+1}}=\dfrac{1}{2}\left( {{3}^{k+2}}-3 \right) \)
Thật vậy, ta có:
\(\begin{align} & {{S}_{k+1}}=3+9+27+...+{{3}^{k+1}}={{S}_{k}}+{{3}^{k+1}} \\ & =\dfrac{1}{2}\left( {{3}^{k+1}}-3 \right)+{{3}^{k+1}}=\dfrac{3}{2}{{.3}^{k+1}}-\dfrac{3}{2} \\ & =\dfrac{1}{2}\left( {{3}^{k+2}}-3 \right)\,\,\,\left( \text{đpcm} \right) \\ \end{align} \)
Vậy (2) đúng với mọi \(k\ge 1\) hay đúng với mọi \(n\in \mathbb N^*\)