Giải bài 3.2 trang 107 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11

Chứng minh các đẳng thức sau (với \(n\in \mathbb N^*\))

a) \(1^2+3^2+5^2+...+(2n-1)^2=\dfrac{n(4n^2-1)}{3}\);

b) \(1^3+2^3+3^3+...+n^3=\dfrac{n^2(n+1)^2}{4}\)

Lời giải:

a) Đặt \( {{S}_{n}}={{1}^{2}}+{{3}^{2}}+{{5}^{2}}+...+{{\left( 2n-1 \right)}^{2}}=\dfrac{n\left( 4{{n}^{2}}-1 \right)}{3} \,\,(1)\)

Với \(n=1\), ta có: \({{S}_{1}}=1=\dfrac{1\left( {{4.1}^{2}}-1 \right)}{3}\) (hệ thức đúng)
Giả sử (1) đúng với \(n=k (k\ge 1)\) tức là \({{S}_{k}}={{1}^{2}}+{{3}^{2}}+{{5}^{2}}+...+{{\left( 2k-1 \right)}^{2}}=\dfrac{k\left( 4{{k}^{2}}-1 \right)}{3}\)
Ta chứng minh (1) đúng với \(n=k+1\), tức là chứng minh \({{S}_{k+1}}=\dfrac{\left( k+1 \right)\left[ 4{{\left( k+1 \right)}^{2}}-1 \right]}{3} \)
Thật vậy, ta có:
\(\begin{align} & {{S}_{k+1}}={{S}_{k}}+{{\left[ 2\left( k+1 \right)-1 \right]}^{2}}=\dfrac{k\left( 4{{k}^{2}}-1 \right)}{3}+{{\left( 2k+1 \right)}^{2}} \\ & =\dfrac{k\left( 2k+1 \right)\left( 2k-1 \right)+3{{\left( 2k+1 \right)}^{2}}}{3} \\ & =\dfrac{\left( 2k+1 \right)\left[ k\left( 2k-1 \right)+3\left( 2k+1 \right) \right]}{3} \\ & =\dfrac{\left( 2k+1 \right)\left( 2{{k}^{2}}+5k+3 \right)}{3}=\dfrac{\left( k+1 \right)\left( 2k+3 \right)\left( 2k+1 \right)}{3} \\ & =\dfrac{\left( k+1 \right)\left[ 4{{\left( k+1 \right)}^{2}}-1 \right]}{3} \\ \end{align} \)
Vậy (1) đúng với mọi \(k\ge 1\) hay đúng với mọi \(n\in \mathbb N^*\)
b) Đặt \( {{S}_{n}}={{1}^{3}}+{{2}^{3}}+{{3}^{3}}+...+{{n}^{3}}=\dfrac{{{n}^{2}}{{\left( n+1 \right)}^{2}}}{4} \,\,(2)\)
Với \(n=1\), ta có: \({{S}_{1}}=1=\dfrac{1{{\left( 1+1 \right)}^{2}}}{4}\) (hệ thức đúng)
Giả sử (2) đúng với \(n=k (k\ge 1)\) tức là \({{S}_{k}}={{1}^{3}}+{{2}^{3}}+{{3}^{3}}+...+{{k}^{3}}=\dfrac{{{k}^{2}}{{\left( k+1 \right)}^{2}}}{4}\)
Ta chứng minh (2) đúng với \(n=k+1\), tức là chứng minh \({{S}_{k+1}}=\dfrac{{{\left( k+1 \right)}^{2}}{{\left( k+2 \right)}^{2}}}{4} \)
Thật vậy, ta có:
\(\begin{align} & {{S}_{k+1}}={{S}_{k}}+{{\left( k+1 \right)}^{3}}=\dfrac{{{k}^{2}}{{\left( k+1 \right)}^{2}}}{4}+{{\left( k+1 \right)}^{3}} \\ & =\dfrac{{{\left( k+1 \right)}^{2}}\left[ {{k}^{2}}+4\left( k+1 \right) \right]}{4}=\dfrac{{{\left( k+1 \right)}^{2}}{{\left( k+2 \right)}^{2}}}{4} \\ \end{align} \)
Vậy (2) đúng với mọi \(k\ge 1\) hay đúng với mọi \(n\in \mathbb N^*\)

Bài trước Bài sau

Lớp 11

Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

Lớp 11

Chương 1: Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác Chương 1: Các nước châu Á, Châu Phi và khu vực Mĩ LaTinh (Thế kỉ XIX - đầu thế kỉ XX) A - Khái quát nền kinh tế - xã hội của thế giới Phần 1: Công dân với kinh tế Chương 1: Cách mạng tháng mười Nga năm 1917 và cuộc xây dựng chủ nghĩa xã hội ở Liên Xô (1921 - 1941) Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác Chương 1: Điện tích - Điện trường Chương 1: Việt Nam từ năm 1858 đến cuối thế kỉ XIX Chương 1: Sự điện li Chương 6 - Khúc xạ ánh sáng Chương 1: Sự điện li Chương 1: Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng Chương 1 - Điện tích - Điện trường Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác Chương 1: Chuyển hoá vật chất và năng lượng Chương 2: Cảm ứng Chương 2: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song B - Địa lý khu vực và quốc gia Chương 2: Tổ hợp và xác suất Phần 2: Công dân với các vấn đề chính trị xã hội Chương 2: Chiến tranh thế giới thứ nhất (1914 - 1918) Chương 2 - Dòng điện không đổi Chương 2: Các nước tư bản chủ nghĩa giữa hai cuộc chiến tranh thế giới (1918 - 1939) Chương 2: Tổ hợp và xác suất Chương 2: Dòng điện không đổi Chương 2: Việt Nam từ đầu thế kỉ XX đến hết chiến tranh thế giới thứ nhất (1918) Chương 2: Nitơ - Photpho Chương 7 - Mắt. Các dụng cụ quang Chương 2: Nhóm Nitơ Chương 2: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song Chương 2: Tổ hợp và xác suất Chương 3: Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc Chương 3: Sinh trưởng và phát triển Chương 3: Dãy số - Cấp số cộng và cấp số nhân Chương 3: Những thành tựu văn hóa thời cận đại Chương 3: Nhóm Cacbon Chương 3 - Dòng điện trong các môi trường Chương 3: Các nước Châu Á giữa hai cuộc chiến tranh thế giới (1918 - 1939) Chương 3: Dãy số - Cấp số cộng và cấp số nhân Chương 3: Dòng điện trong các môi trường Chương 3: Cacbon - Silic Chương 3: Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc trong không gian Chương 3: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân Chương 4: Sinh sản Chương 4: Giới hạn Chương 4: Đại cương về hóa học hữu cơ Chương 4 - Từ trường Chương 4: Chiến tranh thế giới thứ hai (1939 – 1945) Chương 4: Giới hạn Chương 4: Từ trường Chương 4: Giới hạn Chương 4: Đại cương về hóa học hữu cơ Chương 5: Đạo hàm Chương 5: Đạo hàm Chương 5: Cảm ứng điện từ Chương 5 - Cảm ứng điện từ Chương 5: Hiđrocacbon no Chương 5: Đạo hàm Chương 5: Hidrocacbon no Chương 6: Khúc xạ ánh sáng Chương 6: Hiđrocacbon không no Chương 6: Hidrocacbon không no Chương 7: Mắt. Các dụng cụ quang Chương 7: Hiđrocabon thơm - Nguồn hiđrocacbon thiên nhiên Chương 7: Hiđrocacbon thơm. Nguồn Hiđrocacbon thiên nhiên. Hệ thống hóa về Hiđrocacbon Chương 8: Dẫn xuất halogen. Ancol - Phenol Chương 8: Dẫn xuất Halogen - Ancol - Phenol Chương 9: Anđehit - Xeton - Axit cacboxylic Chương 9: Anđehit - Xeton - Axit cacboxylic

+ Mở rộng xem đầy đủ