Giải bài 3.6 trang 107 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11
Cho tổng \(S_n=\dfrac{1}{1.5}+\dfrac{1}{5.9}+\dfrac{1}{9.13}+...+\dfrac{1}{(4n-3)(4n+1)}\)
a) Tính \(S_1, S_2, S_3, S_4\);
b) Dự đoán công thức tính \(S_n\) và chứng minh bằng phương pháp quy nạp
a) Ta có:
\(\begin{align} & {{S}_{1}}=\dfrac{1}{1.5}=\dfrac{1}{5} \\ & {{S}_{2}}=\dfrac{1}{1.5}+\dfrac{1}{5.9}=\dfrac{2}{9} \\ & {{S}_{3}}=\dfrac{1}{1.5}+\dfrac{1}{5.9}+\dfrac{1}{9.13}=\dfrac{3}{13} \\ & {{S}_{4}}=\dfrac{1}{1.5}+\dfrac{1}{5.9}+\dfrac{1}{9.13}+\dfrac{1}{13.15}=\dfrac{4}{17} \\ \end{align} \)
b) Viết lại
\({{S}_{1}}=\dfrac{1}{5}=\dfrac{1}{4.1+1},\,{{S}_{2}}=\dfrac{2}{9}=\dfrac{2}{4.2+1},\,{{S}_{3}}=\dfrac{3}{13}=\dfrac{3}{4.3+1},\,{{S}_{4}}=\dfrac{4}{17}=\dfrac{4}{4.4+1}\)
Ta có thể dự đoán \({{S}_{n}}=\dfrac{n}{4n+1} \)
Chứng minh bằng quy nạp.
Ta có với \(n=1\), hệ thức đúng.
Giả sử hệ thức đúng với \(n=k (k\ge 1)\) tức là \({{S}_{k}}=\dfrac{k}{4k+1} \)
Ta chứng minh hệ thức đúng với \(n=k+1\) hay \({{S}_{k+1}}=\dfrac{k+1}{4\left( k+1 \right)+1}=\dfrac{k+1}{4k+5} \)
Thật vậy ta có:
\(\begin{align} & {{S}_{k+1}}={{S}_{k}}+\dfrac{1}{\left[ 4\left( k+1 \right)-3 \right]\left[ 4\left( k+1 \right)+1 \right]} \\ & =\dfrac{k}{4k+1}+\dfrac{1}{\left( 4k+1 \right)\left( 4k+5 \right)} \\ & =\dfrac{k\left( 4k+5 \right)+1}{\left( 4k+1 \right)\left( 4k+5 \right)} \\ & =\dfrac{4{{k}^{2}}+5k+1}{\left( 4k+1 \right)\left( 4k+5 \right)} \\ & =\dfrac{\left( 4k+1 \right)\left( k+1 \right)}{\left( 4k+1 \right)\left( 4k+5 \right)}=\dfrac{k+1}{4k+5} \\ \end{align} \)
Vậy công thức dự đoán là đúng.