Giải bài 3.4 trang 107 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11

Chứng minh các bất đẳng thức sau \((n\in \mathbb N^*)\)

a) \(2^{n+2}> 2n+5\)

b) \(\sin^{2n}\alpha+\cos^{2n}\alpha \le 1\)

Lời giải:

Với \(n=1\), ta có: \({{2}^{1+2}}=8>7=2+5 \) (luôn đúng)
Giả sử bất đẳng thức đúng với \(n=k (k\ge 1)\) tức là \( {{2}^{k+2}}>2k+5 \)
Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với \(n=k+1\), tức là chứng minh \({{2}^{k+1+2}}>2\left( k+1 \right)+5\Leftrightarrow {{2}^{k+3}}>2k+7\)
Thật vậy, ta có:
\({{2}^{k+1}}={{2}^{k}}.2>2.\left( 2k+5 \right)=4k+10=2k+7+2k+3 \)
Vì \(2k+3 > 0\) nên \(2k+7+2k+3 > 2k+7\)
Suy ra \({{2}^{k+3}}>2k+7\)
Vậy bất đẳng thức đúng với mọi \(k\ge 1\) hay đúng với mọi \(n\in \mathbb N^*\)
b)

Với \(n=1\), ta có: \({{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha =1\,\, \) (hệ thức đúng)
Giả sử bất đẳng thức đúng với \(n=k (k\ge 1)\) tức là \({{\sin }^{2k}}\alpha +{{\cos }^{2k}}\alpha \le 1 \)
Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với \(n=k+1\), tức là chứng minh \({{\sin }^{2\left( k+1 \right)}}\alpha +{{\cos }^{2\left( k+1 \right)}}\alpha \le 1 \)
Thật vậy, ta có:
\(\begin{align} & {{\sin }^{2(k+1)}}\alpha +{{\cos }^{2(k+1)}}\alpha ={{\sin }^{2k}}\alpha {{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2k}}{{\cos }^{2}}\alpha \\ & \le {{\sin }^{2k}}\alpha +{{\cos }^{2k}}\alpha \le 1\,\,\left( \text{vì}\,\,{{\sin }^{2}}\alpha \le 1,\,{{\cos }^{2}}\alpha \le 1 \right) \\ \end{align}\)
Vậy bất đẳng thức đúng với mọi \(k\ge 1\) hay đúng với mọi \(n\in \mathbb N^*\)

Bài trước Bài sau

Lớp 11

Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

Lớp 11

Chương 1: Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác Chương 1: Các nước châu Á, Châu Phi và khu vực Mĩ LaTinh (Thế kỉ XIX - đầu thế kỉ XX) A - Khái quát nền kinh tế - xã hội của thế giới Phần 1: Công dân với kinh tế Chương 1: Cách mạng tháng mười Nga năm 1917 và cuộc xây dựng chủ nghĩa xã hội ở Liên Xô (1921 - 1941) Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác Chương 1: Điện tích - Điện trường Chương 1: Việt Nam từ năm 1858 đến cuối thế kỉ XIX Chương 1: Sự điện li Chương 6 - Khúc xạ ánh sáng Chương 1: Sự điện li Chương 1: Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng Chương 1 - Điện tích - Điện trường Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác Chương 1: Chuyển hoá vật chất và năng lượng Chương 2: Cảm ứng Chương 2: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song B - Địa lý khu vực và quốc gia Chương 2: Tổ hợp và xác suất Phần 2: Công dân với các vấn đề chính trị xã hội Chương 2: Chiến tranh thế giới thứ nhất (1914 - 1918) Chương 2 - Dòng điện không đổi Chương 2: Các nước tư bản chủ nghĩa giữa hai cuộc chiến tranh thế giới (1918 - 1939) Chương 2: Tổ hợp và xác suất Chương 2: Dòng điện không đổi Chương 2: Việt Nam từ đầu thế kỉ XX đến hết chiến tranh thế giới thứ nhất (1918) Chương 2: Nitơ - Photpho Chương 7 - Mắt. Các dụng cụ quang Chương 2: Nhóm Nitơ Chương 2: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song Chương 2: Tổ hợp và xác suất Chương 3: Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc Chương 3: Sinh trưởng và phát triển Chương 3: Dãy số - Cấp số cộng và cấp số nhân Chương 3: Những thành tựu văn hóa thời cận đại Chương 3: Nhóm Cacbon Chương 3 - Dòng điện trong các môi trường Chương 3: Các nước Châu Á giữa hai cuộc chiến tranh thế giới (1918 - 1939) Chương 3: Dãy số - Cấp số cộng và cấp số nhân Chương 3: Dòng điện trong các môi trường Chương 3: Cacbon - Silic Chương 3: Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc trong không gian Chương 3: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân Chương 4: Sinh sản Chương 4: Giới hạn Chương 4: Đại cương về hóa học hữu cơ Chương 4 - Từ trường Chương 4: Chiến tranh thế giới thứ hai (1939 – 1945) Chương 4: Giới hạn Chương 4: Từ trường Chương 4: Giới hạn Chương 4: Đại cương về hóa học hữu cơ Chương 5: Đạo hàm Chương 5: Đạo hàm Chương 5: Cảm ứng điện từ Chương 5 - Cảm ứng điện từ Chương 5: Hiđrocacbon no Chương 5: Đạo hàm Chương 5: Hidrocacbon no Chương 6: Khúc xạ ánh sáng Chương 6: Hiđrocacbon không no Chương 6: Hidrocacbon không no Chương 7: Mắt. Các dụng cụ quang Chương 7: Hiđrocabon thơm - Nguồn hiđrocacbon thiên nhiên Chương 7: Hiđrocacbon thơm. Nguồn Hiđrocacbon thiên nhiên. Hệ thống hóa về Hiđrocacbon Chương 8: Dẫn xuất halogen. Ancol - Phenol Chương 8: Dẫn xuất Halogen - Ancol - Phenol Chương 9: Anđehit - Xeton - Axit cacboxylic Chương 9: Anđehit - Xeton - Axit cacboxylic

+ Mở rộng xem đầy đủ