Giải bài 3.37 trang 132 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11

Sử dụng phương pháp quy nạp, chứng minh rằng

a) \(n^5-n\) chia hết cho 5 với mọi \(n\in \mathbb N^*\)

b) Tổng lập phương của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 9

c) \(n^3 - n\) chia hết cho 6 với mọi \(n\in \mathbb N^*\)

Lời giải:

Đặt \({{A}_{n}}={{n}^{5}}-n \)
Với \(n=1\), ta có: \({{A}_{1}}=1-1=0\,\,\vdots \,\,5 \)
Giả sử đã có \({{A}_{k}}={{k}^{5}}-k\,\,\vdots \,\,5\)
Ta chứng minh với \(n=k+1\) mệnh đề vẫn đúng.
Thật vậy, ta có:
\(\begin{aligned} & {{A}_{k+1}}={{\left( k+1 \right)}^{5}}-\left( k+1 \right) \\ & ={{k}^{5}}+5{{k}^{4}}+10{{k}^{3}}+10{{k}^{2}}+5k+1-\left( k+1 \right) \\ & ={{k}^{5}}+5{{k}^{4}}+10{{k}^{3}}+10{{k}^{2}}+4k \\ & =\left( {{k}^{5}}-k \right)+\left( 5{{k}^{4}}+10{{k}^{3}}+10{{k}^{2}}+5k \right)\,\,\vdots \,\,5 \\ \end{aligned} \)
Vậy \(n^5-n\) chia hết cho 5 với mọi \(n \in \mathbb N^*\)
b) Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là \(n, n+1, n+2\)
Đặt \({{A}_{n}}={{n}^{3}}+{{\left( n+1 \right)}^{3}}+{{\left( n+2 \right)}^{3}} \)
Ta có \({{A}_{1}}=1+{{\left( 1+1 \right)}^{3}}+{{\left( 1+2 \right)}^{3}}=36\,\,\vdots \,\,9\)
Giả sử đã có \({{A}_{k}}={{k}^{3}}+{{\left( k+1 \right)}^{3}}+{{\left( k+2 \right)}^{3}}\,\,\vdots \,\,9 \)
Ta chứng minh \({{A}_{k+1}}\,\vdots \,9\). Tức là \( {{\left( k+1 \right)}^{3}}+{{\left( k+2 \right)}^{3}}+{{\left( k+3 \right)}^{3}}\,\,\vdots \,\,9 \)
Ta có:
\(\begin{aligned} & {{\left( k+1 \right)}^{3}}+{{\left( k+2 \right)}^{3}}+{{\left( k+3 \right)}^{3}}={{k}^{3}}+{{\left( k+1 \right)}^{3}}+{{\left( k+2 \right)}^{3}}+{{\left( k+3 \right)}^{3}}-{{k}^{3}} \\ & ={{A}_{k}}+{{k}^{3}}+9{{k}^{2}}+27k+27-{{k}^{3}} \\ & ={{A}_{k}}+9{{k}^{2}}+27k+27\,\,\vdots \,\,3 \\ \end{aligned}\)
Vậy ta được điều phải chứng minh
c) Đặt \({{A}_{n}}={{n}^{3}}-n \)
Với \(n=1\), ta có: \({{A}_{1}}=1-1=0\,\,\vdots \,\,6 \)
Giả sử đã có \({{A}_{k}}={{k}^{3}}-k\,\,\vdots \,\,6\)
Ta chứng minh với \(n=k+1\) mệnh đề vẫn đúng.
Thật vậy, ta có:
\(\begin{aligned} & {{A}_{k+1}}={{\left( k+1 \right)}^{3}}-\left( k+1 \right)={{k}^{3}}+3{{k}^{2}}+3k+1-k-1 \\ & ={{k}^{3}}+3{{k}^{2}}+2k \\ & ={{k}^{3}}-k+\left( 3{{k}^{2}}+3k \right) \\ & ={{A}_{k}}+3k\left( k+1 \right) \\ \end{aligned} \)
Vì \(k(k+1)\) là tích hai số tự nhiên liên tiếp nên \(k\left( k+1 \right)\,\,\vdots \,\,2\Rightarrow 3k\left( k+1 \right)\,\,\vdots \,\,6 \)
Vậy \(n^3-n\) chia hết cho \(6\) với mọi \(n \in \mathbb N^*\)

Bài trước Bài sau

Lớp 11

Bài tập ôn tập chương 3

Lớp 11

Chương 1: Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác Chương 1: Các nước châu Á, Châu Phi và khu vực Mĩ LaTinh (Thế kỉ XIX - đầu thế kỉ XX) A - Khái quát nền kinh tế - xã hội của thế giới Phần 1: Công dân với kinh tế Chương 1: Cách mạng tháng mười Nga năm 1917 và cuộc xây dựng chủ nghĩa xã hội ở Liên Xô (1921 - 1941) Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác Chương 1: Điện tích - Điện trường Chương 1: Việt Nam từ năm 1858 đến cuối thế kỉ XIX Chương 1: Sự điện li Chương 6 - Khúc xạ ánh sáng Chương 1: Sự điện li Chương 1: Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng Chương 1 - Điện tích - Điện trường Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác Chương 1: Chuyển hoá vật chất và năng lượng Chương 2: Cảm ứng Chương 2: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song B - Địa lý khu vực và quốc gia Chương 2: Tổ hợp và xác suất Phần 2: Công dân với các vấn đề chính trị xã hội Chương 2: Chiến tranh thế giới thứ nhất (1914 - 1918) Chương 2 - Dòng điện không đổi Chương 2: Các nước tư bản chủ nghĩa giữa hai cuộc chiến tranh thế giới (1918 - 1939) Chương 2: Tổ hợp và xác suất Chương 2: Dòng điện không đổi Chương 2: Việt Nam từ đầu thế kỉ XX đến hết chiến tranh thế giới thứ nhất (1918) Chương 2: Nitơ - Photpho Chương 7 - Mắt. Các dụng cụ quang Chương 2: Nhóm Nitơ Chương 2: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song Chương 2: Tổ hợp và xác suất Chương 3: Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc Chương 3: Sinh trưởng và phát triển Chương 3: Dãy số - Cấp số cộng và cấp số nhân Chương 3: Những thành tựu văn hóa thời cận đại Chương 3: Nhóm Cacbon Chương 3 - Dòng điện trong các môi trường Chương 3: Các nước Châu Á giữa hai cuộc chiến tranh thế giới (1918 - 1939) Chương 3: Dãy số - Cấp số cộng và cấp số nhân Chương 3: Dòng điện trong các môi trường Chương 3: Cacbon - Silic Chương 3: Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc trong không gian Chương 3: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân Chương 4: Sinh sản Chương 4: Giới hạn Chương 4: Đại cương về hóa học hữu cơ Chương 4 - Từ trường Chương 4: Chiến tranh thế giới thứ hai (1939 – 1945) Chương 4: Giới hạn Chương 4: Từ trường Chương 4: Giới hạn Chương 4: Đại cương về hóa học hữu cơ Chương 5: Đạo hàm Chương 5: Đạo hàm Chương 5: Cảm ứng điện từ Chương 5 - Cảm ứng điện từ Chương 5: Hiđrocacbon no Chương 5: Đạo hàm Chương 5: Hidrocacbon no Chương 6: Khúc xạ ánh sáng Chương 6: Hiđrocacbon không no Chương 6: Hidrocacbon không no Chương 7: Mắt. Các dụng cụ quang Chương 7: Hiđrocabon thơm - Nguồn hiđrocacbon thiên nhiên Chương 7: Hiđrocacbon thơm. Nguồn Hiđrocacbon thiên nhiên. Hệ thống hóa về Hiđrocacbon Chương 8: Dẫn xuất halogen. Ancol - Phenol Chương 8: Dẫn xuất Halogen - Ancol - Phenol Chương 9: Anđehit - Xeton - Axit cacboxylic Chương 9: Anđehit - Xeton - Axit cacboxylic

+ Mở rộng xem đầy đủ