Giải bài 3.49 trang 134 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11

Tìm m để phương trình \(x^4-(3m+5)x^2+(m+1)^2=0\) có bốn nghiệm lập thành cấp số cộng.

Lời giải:

Hướng dẫn:
- Đặt \(x^2=t\)
- Phương trình ban đâu có 4 nghiệm phân biệt. Suy ra \(\Delta >0\)
- Bốn nghiệm lập thành cấp số cộng: Áp dụng tính chất tính chất lập phương trình

Đặt \({{x}^{2}}=t\,\,\left( t\ge 0 \right) \)

Phương trình trở thành:

\({{t}^{2}}-\left( 3m+5 \right)t+{{\left( m+1 \right)}^{2}}=0 (*)\)

Để phương trình đầu có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình (*) có hai nghiệm dương phân biệt:

\(\begin{aligned} & \Delta ={{\left( 3m+5 \right)}^{2}}-4{{\left( m+1 \right)}^{2}}>0 \\ & \Leftrightarrow 5{{m}^{2}}+22m+21>0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & m<-3 \\ & m>-\dfrac{7}{5} \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \)

Giả sử hai nghiệm dương của phương trình (*) là \({{t}_{1}};\,{{t}_{2}}\,\,\left( {{t}_{1}}<{{t}_{2}} \right) \)

Bốn nghiệm của phương trình ban đầu lần lượt là: \(-\sqrt{{{t}_{2}}};-\sqrt{{{t}_{1}}};\sqrt{{{t}_{1}}};\sqrt{{{t}_{2}}} \)

Điều kiện để bốn nghiệm lập thành cấp số cộng là:

\(\begin{aligned} & \sqrt{{{t}_{2}}}-\sqrt{{{t}_{1}}}=2\sqrt{{{t}_{1}}} \\ & \Leftrightarrow \sqrt{{{t}_{2}}}=3\sqrt{{{t}_{1}}} \\ & \Leftrightarrow {{t}_{2}}=9{{t}_{1}} \\ \end{aligned} \)

Kết hợp với hệ thức Vi – ét ta có:

\(\left\{ \begin{aligned} & {{t}_{1}}+{{t}_{2}}=3m+5 \\ & {{t}_{1}}{{t}_{2}}={{\left( m+1 \right)}^{2}} \\ & {{t}_{2}}=9{{t}_{1}} \\ \end{aligned} \right. \)
Giải hệ phương trình được \(m=5\) và \(m=-\dfrac{25}{19} \)

Bài trước Bài sau

Lớp 11

Bài tập ôn tập chương 3

Lớp 11

Chương 1: Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác Chương 1: Các nước châu Á, Châu Phi và khu vực Mĩ LaTinh (Thế kỉ XIX - đầu thế kỉ XX) A - Khái quát nền kinh tế - xã hội của thế giới Phần 1: Công dân với kinh tế Chương 1: Cách mạng tháng mười Nga năm 1917 và cuộc xây dựng chủ nghĩa xã hội ở Liên Xô (1921 - 1941) Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác Chương 1: Điện tích - Điện trường Chương 1: Việt Nam từ năm 1858 đến cuối thế kỉ XIX Chương 1: Sự điện li Chương 6 - Khúc xạ ánh sáng Chương 1: Sự điện li Chương 1: Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng Chương 1 - Điện tích - Điện trường Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác Chương 1: Chuyển hoá vật chất và năng lượng Chương 2: Cảm ứng Chương 2: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song B - Địa lý khu vực và quốc gia Chương 2: Tổ hợp và xác suất Phần 2: Công dân với các vấn đề chính trị xã hội Chương 2: Chiến tranh thế giới thứ nhất (1914 - 1918) Chương 2 - Dòng điện không đổi Chương 2: Các nước tư bản chủ nghĩa giữa hai cuộc chiến tranh thế giới (1918 - 1939) Chương 2: Tổ hợp và xác suất Chương 2: Dòng điện không đổi Chương 2: Việt Nam từ đầu thế kỉ XX đến hết chiến tranh thế giới thứ nhất (1918) Chương 2: Nitơ - Photpho Chương 7 - Mắt. Các dụng cụ quang Chương 2: Nhóm Nitơ Chương 2: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song Chương 2: Tổ hợp và xác suất Chương 3: Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc Chương 3: Sinh trưởng và phát triển Chương 3: Dãy số - Cấp số cộng và cấp số nhân Chương 3: Những thành tựu văn hóa thời cận đại Chương 3: Nhóm Cacbon Chương 3 - Dòng điện trong các môi trường Chương 3: Các nước Châu Á giữa hai cuộc chiến tranh thế giới (1918 - 1939) Chương 3: Dãy số - Cấp số cộng và cấp số nhân Chương 3: Dòng điện trong các môi trường Chương 3: Cacbon - Silic Chương 3: Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc trong không gian Chương 3: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân Chương 4: Sinh sản Chương 4: Giới hạn Chương 4: Đại cương về hóa học hữu cơ Chương 4 - Từ trường Chương 4: Chiến tranh thế giới thứ hai (1939 – 1945) Chương 4: Giới hạn Chương 4: Từ trường Chương 4: Giới hạn Chương 4: Đại cương về hóa học hữu cơ Chương 5: Đạo hàm Chương 5: Đạo hàm Chương 5: Cảm ứng điện từ Chương 5 - Cảm ứng điện từ Chương 5: Hiđrocacbon no Chương 5: Đạo hàm Chương 5: Hidrocacbon no Chương 6: Khúc xạ ánh sáng Chương 6: Hiđrocacbon không no Chương 6: Hidrocacbon không no Chương 7: Mắt. Các dụng cụ quang Chương 7: Hiđrocabon thơm - Nguồn hiđrocacbon thiên nhiên Chương 7: Hiđrocacbon thơm. Nguồn Hiđrocacbon thiên nhiên. Hệ thống hóa về Hiđrocacbon Chương 8: Dẫn xuất halogen. Ancol - Phenol Chương 8: Dẫn xuất Halogen - Ancol - Phenol Chương 9: Anđehit - Xeton - Axit cacboxylic Chương 9: Anđehit - Xeton - Axit cacboxylic

+ Mở rộng xem đầy đủ