Giải bài 3.47 trang 134 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11
Tính tổng
a) \(\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{{{2}^{2}}}+\dfrac{5}{{{2}^{3}}}+...+\dfrac{2n-1}{{{2}^{n}}}\)
b) \({{1}^{2}}-{{2}^{2}}+{{3}^{2}}-{{4}^{2}}+...+{{\left( -1 \right)}^{n-1}}.{{n}^{2}} \)
a) Đặt
\(\begin{align} & {{S}_{n}}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{{{2}^{2}}}+\dfrac{5}{{{2}^{3}}}+...+\dfrac{2n-1}{{{2}^{n}}} \\ & \Rightarrow 2{{S}_{n}}=1+\dfrac{3}{2}+\dfrac{5}{{{2}^{2}}}+...+\dfrac{2n-1}{{{2}^{n-1}}} \\ \end{align} \)
Ta có:
\(\begin{align} & 2{{S}_{n}}-{{S}_{n}}=1+\left( \dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{2} \right)+\left( \dfrac{5}{{{2}^{2}}}-\dfrac{3}{{{2}^{2}}} \right)+...+\left( \dfrac{2n-1}{{{2}^{n-1}}}-\dfrac{2n-3}{{{2}^{n-1}}} \right)-\dfrac{2n-1}{{{2}^{n}}} \\ & \Leftrightarrow {{S}_{n}}=1+1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{{{2}^{2}}}+...+\dfrac{1}{{{2}^{n-2}}}-\dfrac{2n-1}{{{2}^{n}}} \\ & =1+\dfrac{1\left[ {{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{n-1}}-1 \right]}{\dfrac{1}{2}-1}-\dfrac{2n-1}{{{2}^{n}}} \\ & =1+\dfrac{{{2}^{n}}-2}{{{2}^{n-1}}}-\dfrac{2n-1}{{{2}^{n}}} \\ & =\dfrac{{{2}^{n}}+{{2.2}^{n}}-4-2n+1}{{{2}^{n}}} \\ & =\dfrac{{{3.2}^{n}}-2n-3}{{{2}^{n}}} \\ & =3-\dfrac{2n+3}{{{2}^{n}}} \\ \end{align} \)
b)
Hướng dẫn: \( {{n}^{2}}-{{\left( n+1 \right)}^{2}}=-2n-1 \)
Bài giải
Ta có:
\(\begin{align} & {{1}^{2}}-{{2}^{2}}=-2.1-1=-3 \\ & {{3}^{2}}-{{4}^{2}}=-2.3-1=-7 \\ & {{5}^{2}}-{{6}^{2}}=-2.5-1=-11 \\ & ... \\ \end{align} \)
Ta có: \(-3,-7,-11,..\) là cấp số cộng
Với \(n=2k \,\,(k\in \mathbb N^*)\)
Ta có: \(S_n\) là tổng của k số hạng của cấp số cộng
\(\begin{align} & {{S}_{n}}={{S}_{2k}}=\dfrac{k\left[ 2{{u}_{1}}+\left( k-1 \right)d \right]}{2}\\&=\dfrac{k\left[ 2.\left( -3 \right)+\left( k-1 \right).\left( -4 \right) \right]}{2} \\ & =k\left( -2k-1 \right) \\ \end{align} \)
Với \(n=2k+1\)
Ta có:
\( \begin{align} & {{S}_{n}}={{S}_{2k}}+{{\left( -1 \right)}^{2\left( k+1 \right)-1}}.{{\left( 2k+1 \right)}^{2}} \\ & =k\left( -2k-1 \right)+{{\left( -1 \right)}^{2k+1}}{{\left( 2k+1 \right)}^{2}} \\ & =k\left( -2k-1 \right)-{{\left( 2k+1 \right)}^{2}} \\ & =\left( 2k+1 \right)\left( -3k-1 \right) \\ \end{align} \)