Giải bài 3.40 trang 133 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11

Cho dãy số (\(u_n\)): \(\left\{\begin{align}&u_1=1,u_2=2\\&u_{n+1}=2u_n-u_{n-1}+1\,\,\,\text{với}\,\,n\ge 2\\ \end{align}\right.\)

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số;

b) Lập dãy số (\(v_n\)) với \(v_n=u_{n+1}-u_{n}\)

Chứng minh dãy số (\(v_n\)) là cấp số cộng

c) Tìm công thức tính \(u_n\) theo \(n\)

Lời giải:

Năm số hạng đầu của dãy số là: \({{u}_{1}}=1,{{u}_{2}}=2,{{u}_{3}}=4,{{u}_{4}}=7,{{u}_{5}}=11 \)
b)

Từ công thức truy hồi của dãy số ta có:

\(\begin{aligned} & {{u}_{n+1}}=2{{u}_{n}}-{{u}_{n-1}}+1 \\ & \Leftrightarrow {{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}={{u}_{n}}-{{u}_{n-1}}+1 \\ & \Leftrightarrow \left( {{u}_{n+1}}-{{u}_{n}} \right)-\left( {{u}_{n}}-{{u}_{n-1}} \right)=1 \\ \end{aligned} \)

Để chứng minh dãy số \((v_n)\) là cấp số cộng ta chỉ ra \({{v}_{n+1}}-{{v}_{n}}\) là hằng số.

Ta có:

\({{v}_{n+1}}-{{v}_{n}}=\left( {{u}_{n+1}}-{{u}_{n}} \right)-\left( {{u}_{n}}-{{u}_{n-1}} \right)=1 \)

Vậy \((v_n) \) là cấp số cộng với \(v_1=1, d=1\)

c) Để tính \(u_n\), ta viết:

\(\begin{aligned} & {{v}_{1}}=1 \\ & {{v}_{2}}={{u}_{3}}-{{u}_{2}} \\ & {{v}_{3}}={{u}_{4}}-{{u}_{3}} \\ & ... \\ & {{v}_{n-2}}={{u}_{n-1}}-{{u}_{n-2}} \\ & {{v}_{n-1}}={{u}_{n}}-{{u}_{n-1}} \\ \end{aligned} \)

Cộng từng vế của phương trình ta có:

\(\begin{aligned} & {{v}_{1}}+{{v}_{2}}+...+{{v}_{n-1}}=1-{{u}_{2}}+{{u}_{n}}={{u}_{n}}-1 \\ & \Rightarrow \dfrac{n\left( n-1 \right)}{2}={{u}_{n}}-1 \\ & \Rightarrow {{u}_{n}}=1+\dfrac{n\left( n-1 \right)}{2} \\ \end{aligned} \)

(Vế phải là tổng \(n-1\) số hạng đầu của cấp số cộng \(v_n\))

Bài trước Bài sau

Lớp 11

Bài tập ôn tập chương 3

Lớp 11

Chương 1: Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác Chương 1: Các nước châu Á, Châu Phi và khu vực Mĩ LaTinh (Thế kỉ XIX - đầu thế kỉ XX) A - Khái quát nền kinh tế - xã hội của thế giới Phần 1: Công dân với kinh tế Chương 1: Cách mạng tháng mười Nga năm 1917 và cuộc xây dựng chủ nghĩa xã hội ở Liên Xô (1921 - 1941) Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác Chương 1: Điện tích - Điện trường Chương 1: Việt Nam từ năm 1858 đến cuối thế kỉ XIX Chương 1: Sự điện li Chương 6 - Khúc xạ ánh sáng Chương 1: Sự điện li Chương 1: Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng Chương 1 - Điện tích - Điện trường Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác Chương 1: Chuyển hoá vật chất và năng lượng Chương 2: Cảm ứng Chương 2: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song B - Địa lý khu vực và quốc gia Chương 2: Tổ hợp và xác suất Phần 2: Công dân với các vấn đề chính trị xã hội Chương 2: Chiến tranh thế giới thứ nhất (1914 - 1918) Chương 2 - Dòng điện không đổi Chương 2: Các nước tư bản chủ nghĩa giữa hai cuộc chiến tranh thế giới (1918 - 1939) Chương 2: Tổ hợp và xác suất Chương 2: Dòng điện không đổi Chương 2: Việt Nam từ đầu thế kỉ XX đến hết chiến tranh thế giới thứ nhất (1918) Chương 2: Nitơ - Photpho Chương 7 - Mắt. Các dụng cụ quang Chương 2: Nhóm Nitơ Chương 2: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song Chương 2: Tổ hợp và xác suất Chương 3: Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc Chương 3: Sinh trưởng và phát triển Chương 3: Dãy số - Cấp số cộng và cấp số nhân Chương 3: Những thành tựu văn hóa thời cận đại Chương 3: Nhóm Cacbon Chương 3 - Dòng điện trong các môi trường Chương 3: Các nước Châu Á giữa hai cuộc chiến tranh thế giới (1918 - 1939) Chương 3: Dãy số - Cấp số cộng và cấp số nhân Chương 3: Dòng điện trong các môi trường Chương 3: Cacbon - Silic Chương 3: Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc trong không gian Chương 3: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân Chương 4: Sinh sản Chương 4: Giới hạn Chương 4: Đại cương về hóa học hữu cơ Chương 4 - Từ trường Chương 4: Chiến tranh thế giới thứ hai (1939 – 1945) Chương 4: Giới hạn Chương 4: Từ trường Chương 4: Giới hạn Chương 4: Đại cương về hóa học hữu cơ Chương 5: Đạo hàm Chương 5: Đạo hàm Chương 5: Cảm ứng điện từ Chương 5 - Cảm ứng điện từ Chương 5: Hiđrocacbon no Chương 5: Đạo hàm Chương 5: Hidrocacbon no Chương 6: Khúc xạ ánh sáng Chương 6: Hiđrocacbon không no Chương 6: Hidrocacbon không no Chương 7: Mắt. Các dụng cụ quang Chương 7: Hiđrocabon thơm - Nguồn hiđrocacbon thiên nhiên Chương 7: Hiđrocacbon thơm. Nguồn Hiđrocacbon thiên nhiên. Hệ thống hóa về Hiđrocacbon Chương 8: Dẫn xuất halogen. Ancol - Phenol Chương 8: Dẫn xuất Halogen - Ancol - Phenol Chương 9: Anđehit - Xeton - Axit cacboxylic Chương 9: Anđehit - Xeton - Axit cacboxylic

+ Mở rộng xem đầy đủ