Giải bài 5 trang 133 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11
Cho hàm số \(f(x)=\dfrac{x+2}{x^2-9}\)có đồ thị như sau:
a) Quan sát đồ thị và nêu nhận xét về giá trị hàm số đã cho khi \(x\to -\infty, x\to 3^-, x\to -3^+\)
b) Kiểm tra các nhận xét trên bằng cách tính các giới hạn sau:
\(\bullet \,\lim\limits_{x\to -\infty }\,f(x)\) với \(f(x)\) được xét trên khoảng \((-\infty;-3)\),
\(\bullet \,\lim\limits_{x\to {{3}^{-}}}\,f(x)\) với \(f(x)\) được xét trên khoảng \((-3;3)\),
\(\bullet \,\lim\limits_{x\to -{{3}^{+}}}\,f(x)\) với \( f(x)\) được xét trên khoảng \((-3;3)\).
a)
Từ hình vẽ, ta có:
\(\lim\limits_{x\to -\infty }\,f(x)=0,\,\lim\limits_{x\to {{3}^{-}}}\,=-\infty ,\,\lim\limits_{x\to -{{3}^{+}}}\,=+\infty \)
b)
\(\bullet \lim\limits_{x\to -\infty }\,f(x)=\lim\limits_{x\to -\infty }\,\dfrac{x+2}{{{x}^{2}}-9}\\=\lim\limits_{x\to -\infty }\,\dfrac{{{x}^{2}}\left( \dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{{{x}^{2}}} \right)}{{{x}^{2}}\left( 1-\dfrac{9}{{{x}^{2}}} \right)}=\lim\limits_{x\to -\infty }\,\dfrac{\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{{{x}^{2}}}}{1-\dfrac{9}{{{x}^{2}}}}=0 \)
Vì \(\lim\limits_{x\to -\infty }\,\left( \dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{{{x}^{2}}} \right)=0\) và \(\lim\limits_{x\to -\infty }\,\left( 1-\dfrac{9}{{{x}^{2}}} \right)=1\)
\(\bullet \lim\limits_{x\to {{3}^{-}}}\,f(x)=\lim\limits_{x\to {{3}^{-}}}\,\dfrac{x+2}{(x-3)(x+3)}=-\infty \)
Vì \(\lim\limits_{x\to {{3}^{-}}}\,\left( x+2 \right)=5\) và \(\lim\limits_{x\to {{3}^{-}}}\,\left( x-3 \right)\left( x+3 \right)=0, x-3<0\) với mọi \(x<3\)
\(\bullet \,\lim\limits_{x\to -{{3}^{+}}}\,f(x)=\lim\limits_{x\to -{{3}^{+}}}\,\dfrac{x+2}{(x-3)(x+3)}=+\infty \)
Vì \(\lim\limits_{x\to {{-3}^{+}}}\,\left( x+2 \right)=-1\) và\(\lim\limits_{x\to {{-3}^{+}}}\,\left( x-3 \right)=-9\); \(\lim\limits_{x\to {{-3}^{+}}}\,\left( x+3 \right)=0, x+3>0\) với mọi \(x>-3\)