Giải bài 1.18 trang 15 - SBT Giải tích 12
Tìm cực trị của các hàm số sau:
a) \(y=\dfrac{x+1}{x^2+8}\)
b) \(y=\dfrac{x^2-2x+3}{x-1}\)
c) \(y=\dfrac{x^2+x-5}{x+1}\)
d) \(y=\dfrac{(x-4)^2}{x^2-2x+5}\)
a) \(y=\dfrac{x+1}{{{x}^{2}}+8}\) . TXĐ: \(\mathbb{R} \)
\(\begin{aligned} & y'=\dfrac{{{x}^{2}}+8-2x\left( x+1 \right)}{{{\left( {{x}^{2}}+8 \right)}^{2}}}=\dfrac{-{{x}^{2}}-2x+8}{{{\left( {{x}^{2}}+8 \right)}^{2}}} \\ & y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=-4 \\ & x=2 \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \)
Bảng biến thiên:
Hàm số đạt cực đại tại \(x=2\), cực tiểu tại \(x=-4\) và \({{y}_{\text{CĐ}}}=y\left( 2 \right)=\dfrac{1}{4};\,{{y}_{CT}}=y\left( -4 \right)=-\dfrac{1}{8}\) .
b) \(y=\dfrac{{{x}^{2}}-2x+3}{x-1} \)
Hàm số xác định và có đạo hàm với mọi \(x\ne 1\)
\(\begin{aligned} & y'=\dfrac{{{x}^{2}}-2x-1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}} \\ & y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=1-\sqrt{2} \\ & x=1+\sqrt{2} \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \)
Bảng biến thiên:
Hàm số đạt cực đại tại \(x=1-\sqrt{2}\) , đạt cực tiểu tại \(x=1+\sqrt{2} \)
Ta có: \(y{_{\text{CĐ}}}=y\left( 1-\sqrt{2} \right)=-2\sqrt{2};\,{{y}_{CT}}=y\left( 1+\sqrt{2} \right)=2\sqrt{2} \).
c) \(y=\dfrac{{{x}^{2}}+x-5}{x+1}\) .TXĐ: \(\mathbb{R}\backslash \left\{ -1 \right\} \)
\(y'=\dfrac{{{x}^{2}}+2x+6}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}>0\,\,,\,\forall x\ne -1\)
Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( -\infty ;-1 \right),\left( -1;+\infty \right)\) và do đó không có cực trị.
d) \(y=\dfrac{{{\left( x-4 \right)}^{2}}}{{{x}^{2}}-2x+5} \)
Vì \({{x}^{2}}-2x+5\) luôn dương nên hàm số xác định trên \(\left( -\infty ;+\infty \right) \).
\(\begin{aligned} & y'=\dfrac{2\left( x-4 \right)\left( {{x}^{2}}-2x+5 \right)-{{\left( x-4 \right)}^{2}}\left( 2x-2 \right)}{{{\left( {{x}^{2}}-2x+5 \right)}^{2}}}=\dfrac{2\left( x-4 \right)\left( 3x+1 \right)}{{{\left( {{x}^{2}}-2x+5 \right)}^{2}}} \\ & y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=-\dfrac{1}{3} \\ & x=4 \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \)
Bảng biến thiên:
Hàm số đạt cực đại tại \(x=-\dfrac{1}{3}\) , đạt cực tiểu tại \(x=4\) và \({{y}_{\text{CĐ}}}=y\left( -\dfrac{1}{3} \right)=\dfrac{13}{4};\,\,{{y}_{CT}}=y\left( 4 \right)=0 \).
Ghi nhớ:
a) \(\,\,\left\{ \begin{align} & f'\left( {{x}_{0}} \right)=0 \\ & f''\left( {{x}_{0}} \right)>0 \\ \end{align} \right.\Rightarrow {{x}_{0}}\) là điểm cực tiểu của \(f(x)\)
b)\(\,\,\left\{ \begin{align} & f'\left( {{x}_{0}} \right)=0 \\ & f''\left( {{x}_{0}} \right)<0 \\ \end{align} \right.\Rightarrow {{x}_{0}}\) là điểm cực đại của \(f(x)\)