Giải bài 1.20 trang 16 - SBT Giải tích 12
Tìm cực trị của các hàm số sau:
a) \(y=\sin2x\);
b) \(y=\cos x-\sin x\);
c) \(y=\sin^2x\).
a) \(y=\sin 2x \)
Hàm số có chu kì \(T=\pi \)
Xét hàm số \(y=\sin 2x\) trên đoạn \(\left[ 0;\pi \right]\) , ta có:
\(\begin{aligned} & y'=2cos2x \\ & y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=\dfrac{\pi }{4} \\ & x=\dfrac{3\pi }{4} \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \)
Bảng biến thiên:
Do đó trên đoạn \(\left[ 0;\pi \right]\), hàm số đạt cực đại tại \(\dfrac{\pi }{4}\) , đạt cực tiểu tại \(\dfrac{3\pi }{4}\) và \({{y}_{\text{CĐ}}}=y\left( \dfrac{\pi }{4} \right)=1;\,\,{{y}_{CT}}=y\left( \dfrac{3\pi }{4} \right)=-1\) .
Vậy trên \(\mathbb{R}\) ta có:
\({{y}_{\text{CĐ}}}=y\left( \dfrac{\pi }{4}+k\pi \right)=1;\,\,{{y}_{CT}}=y\left( \dfrac{3\pi }{4}+k\pi \right)=-1,\,k\in \mathbb{Z} \)
b) \(y=\cos x-\sin x\). Hàm số tuần hoàn chu kì \(2\pi \) nên ta xét trên đoạn \(\left[ -\pi ;\pi \right]\)
\(\begin{align} & y'=-\sin x-\cos x \\ & y'=0\Leftrightarrow \tan x=-1\Leftrightarrow x=-\dfrac{\pi }{4}+k\pi ,\,k\in \mathbb{Z} \\ \end{align} \)
Lập bảng biến thiên trên đoạn \(\left[ -\pi ;\pi \right]\)
Hàm số đạt cực đại tại \(y=-\dfrac{\pi }{4}+k2\pi \) , đạt cực tiểu tại \(y=\dfrac{3\pi }{4}+k2\pi \,\,\left( k\in \mathbb{Z} \right)\) và
\(\begin{align} & {{y}_{\text{CĐ}}}=y\left( -\dfrac{\pi }{4}+k2\pi \right)=\sqrt{2} \\ & {{y}_{CT}}=y\left( \dfrac{3\pi }{4}+k2\pi \right)=-\sqrt{2}\,\,\,\,\left( k\in \mathbb{Z} \right) \\ \end{align} \)
c) Ta có \(y={{\sin }^{2}}x=\dfrac{1-\cos 2x}{2}\, \)
Do đó, hàm số đã cho tuần hoàn theo chu kì \( \pi\) . Ta xét hàm số \(y=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\cos2x\) trên đoạn \(\left[ 0;\pi \right]\)
\(\begin{align} & y'=\sin 2x \\ & y'=0\Leftrightarrow \sin 2x=0\Leftrightarrow x=k\dfrac{\pi }{2}\,\,\left( k\in \mathbb{Z} \right) \\ \end{align} \)
Lập bảng biến thiên trên đoạn \(\left[ 0;\pi \right]\)
Từ đó, ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại \(x=k\dfrac{\pi }{2}\) với k chẵn , đạt cực đại tại \(x=k\dfrac{\pi }{2}\) với k lẻ, và \({{y}_{CT}}=y\left( 2m\pi \right)=0;\,\,{{y}_{\text{CĐ}}}=y\left( \left( 2m+1 \right)\dfrac{\pi }{2} \right)=1\,\,\left( m\in \mathbb{Z} \right) \)
Ghi nhớ:
a)\(\,\,\left\{ \begin{align} & f'\left( {{x}_{0}} \right)=0 \\ & f''\left( {{x}_{0}} \right)>0 \\ \end{align} \right.\Rightarrow {{x}_{0}}\) là điểm cực tiểu của \(f(x)\)
b)\(\,\,\left\{ \begin{align} & f'\left( {{x}_{0}} \right)=0 \\ & f''\left( {{x}_{0}} \right)<0 \\ \end{align} \right.\Rightarrow {{x}_{0}}\) là điểm cực đại của \(f(x)\)