Giải bài 1.23 trang 16 - SBT Giải tích 12

Xác định giá trị của tham số m để hàm số \(y=x^3-mx^2+\left(m-\dfrac{2}{3} \right)x+5\) có cực trị tại \(x=1\). Khi đó, hàm số đạt cực tiểu hay đạt cực đại ? Tính cực trị tương ứng.

Lời giải:

\(y={{x}^{3}}-m{{x}^{2}}+\left( m-\dfrac{2}{3} \right)x+5 \)
Ta biết hàm số \(y=f(x)\) có cực trị khi phương trình \(y’=0\) có nghiệm và y’ đổi dấu khi qua các nghiệm đó. Ta có:
\(y'=3{{x}^{2}}-2mx+\left( m-\dfrac{2}{3} \right)\)
Xét \(y’=0\), ta có: \(\Delta '={{m}^{2}}-3\left( m-\dfrac{2}{3} \right)={{m}^{2}}-3m+2 \)
\(\Delta '>0\) khi \(m <1\) hoặc \(m > 2 \) (*)
Để hàm số có cực trị tại \(x=1\) thì
\(y'\left( 1 \right)=3-2m+m-\dfrac{2}{3}=0\Leftrightarrow m=\dfrac{7}{3}\) (thỏa mãn điều kiện (*))
Với \(m=\dfrac{7}{3}\) thì hàm số đã cho trở thành
\(\begin{align} & y={{x}^{3}}-\dfrac{7}{3}{{x}^{2}}+\dfrac{5}{3}x+5 \\ & \\ \end{align}\)
Ta có
\(\begin{align} & y'=3{{x}^{2}}-\dfrac{14}{3}x+\dfrac{5}{3}; \\ & y''=6x-\dfrac{14}{3} \\ \end{align} \)
Vì \(y''\left( 1 \right)=6-\dfrac{14}{3}>0\) nên hàm số đạt cực tiểu tại \(x=1\) và \({{y}_{CT}}=y\left( 1 \right)=\dfrac{16}{3}\) .

Ghi nhớ:
Giả sử hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm cấp hai trong khoảng \(\left( {{x}_{0}}-h;{{x}_{0}}+h \right),\,h>0\) . Khi đó:
a) Nếu \(f'\left( {{x}_{0}} \right)=0;\,\,f''\left( {{x}_{0}} \right)>0\Rightarrow {{x}_{0}}\) là điểm cực tiểu;
b) Nếu \(f'\left( {{x}_{0}} \right)=0;\,\,f''\left( {{x}_{0}} \right)<0\Rightarrow {{x}_{0}}\) là điểm cực đại.

Bài trước Bài sau

Lớp 12

Bài 2: Cực trị của hàm số

Lớp 12

Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số Chương 1: Este - Lipit Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số Chương 1: Việt Nam từ năm 1919 đến năm 1930 Chương 1: Cơ chế di truyền và biến dị Địa Lý Việt Nam Chương 1: Este - Lipit Chương 1: Dao động cơ Chương 1: Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Chương 1: Khối đa diện Chương 1: Sự hình thành trật tự thế giới mới sau chiến tranh thế giới thứ hai (1945-1949) Chương 1: Bằng chứng và cơ chế tiến hoá Chương 1: Động lực học vật rắn Chương 1: Cá thể và quần thể sinh vật Chương 2: Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm số logarit Chương 2: Cacbohiđrat Chương 2: Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm số lôgarit Chương 2: Việt Nam từ năm 1930 đến năm 1945 Địa Lý Tự Nhiên Chương 2: Cacbohiđrat Chương 2: Sóng cơ và sóng âm Chương 2: Tính quy luật của hiện tượng di truyền Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit Chương 2: Liên Xô và các nước Đông Âu (1945-1991), Liên Bang Nga (1991-2000) Chương 2: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu Chương 2: Sự phát sinh và phát triển của sự sống trên Trái Đất Chương 2: Quần xã sinh vật Chương 2: Dao động cơ Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Chương 3: Amin, Amino axit và protein Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Chương 3: Việt Nam từ năm 1945 đến năm 1954 Địa Lý Dân Cư Chương 3: Amin, Amino axit và protein Chương 3: Dòng điện xoay chiều Chương 3: Di truyền học quần thể Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Chương 3: Các nước Á, Phi và Mĩ Latinh (1945-2000) Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian Chương 3: Hệ sinh thái, sinh quyển và bảo vệ môi trường Chương 3: Sóng cơ Chương 4: Số phức Chương 4: Polime và vật liệu polime Chương 4: Số phức Chương 4: Việt Nam từ năm 1954 đến năm 1975 Địa Lý Kinh Tế Chương 4: Polime và vật liệu polime Chương 4: Dao động và sóng điện từ Chương 4: Ứng dụng di truyền học Chương 4: Số phức Chương 4: Mĩ, Tây Âu, Nhật Bản (1945 - 2000) Chương 4: Dao động và sóng điện từ Chương 5: Quan hệ quốc tế (1945 - 2000) Chương 5: Dòng điện xoay chiều Chương 5: Đại cương về kim loại Chương 5: Việt Nam từ năm 1975 đến năm 2000 Địa Lý Địa Phương Chương 5: Đại cương về kim loại Chương 5: Sóng ánh sáng Chương 5: Di truyền học người Chương 6: Cách mạng khoa học - công nghệ và xu thế toàn cầu hóa Chương 6: Sóng ánh sáng Chương 6: Kim loại kiềm, kim loại kiềm thổ, nhôm Chương 6: Kim loại kiềm, kim loại kiềm thổ, nhôm Chương 6: Lượng tử ánh sáng Chương 7: Lượng tử ánh sáng Chương 7: Crom - Sắt - Đồng Chương 7: Sắt và một số kim loại quan trọng Chương 7: Hạt nhân nguyên tử Chương 8: Sơ lược về Thuyết tương đối hẹp Chương 8: Phân biệt một số chất vô cơ. Chuẩn độ dung dịch Chương 8: Phân biệt một số chất vô cơ Chương 8: Từ vi mô đến vĩ mô Chương 9: Hạt nhân nguyên tử Chương 9: Hóa học và vấn đề phát triển kinh tế, xã hội, môi trường Chương 9: Hóa học và vấn đề phát triển kinh tế, xã hội, môi trường Chương 10: Từ vi mô đến vĩ mô

+ Mở rộng xem đầy đủ