Giải bài 1.61 trang 36 - SBT Giải tích lớp 12
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
\(y=-x^3+3x+1\)
b) Chỉ ra phép biến hình biến (C) thành đồ thị (C') của hàm số
\(y=(x+1)^3-3x-4\)
c) Dựa vào đồ thị (C'), biện luận theo m số nghiệm của phương trình
\((x+1)^3=3x+m\)
d) Viết phương trình tiếp tuyến (d) của đồ thị (C'), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \(y=-\dfrac x 9+1\)
a)
TXĐ: \(D=\mathbb R\)
\(y'=-3x^2+3\\ y'=0\Leftrightarrow x=\pm 1 \)
\(\lim\limits_{x\to -\infty}y=+\infty;\,\,\lim\limits_{x\to +\infty}y=-\infty;\)
Bảng biến thiên
Hàm số đồng biến trên khoảng \((-1;1)\) và nghịch biến trên các khoảng \((-\infty;-1);(1;+\infty)\)
Hàm số đạt cực tiểu tại \((-1;-1)\); đạt cực đại tại \((1;3)\)
Đồ thị
b)
Ta có:
\(y=(x+1)^3-3x-4=(x+1)^3-3(x+1)-1=-[-(x+1)^3+3x+1]\)
Vậy ta thực hiện liên tiếp các phép biến hình để thu được đồ thị (C')
- Tịnh tiến đồ thị (C) song song với trục Ox sang trái 1 đơn vị được đồ thị (\(C_1\))
- Lấy đối xứng đồ thị (\(C_1\)) qua Ox được đồ thị (C')
c)
Ta có:
\((x+1)^3=3x+m\Leftrightarrow (x+1)^3-3x-4=m-4\)
Từ đồ thị ta có:
+) Nếu \(\left[ \begin{aligned} & m-4>1 \\ & m-4<-3 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & m>5 \\ & m<1 \\ \end{aligned} \right.\) phương trình có 1 nghiệm
+) Nếu \(\left\{ \begin{aligned} & m-4>-3 \\ & m-4<1 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow 1< m<5\) phương trình có 3 nghiệm phân biệt
+) Nếu \( \left[ \begin{aligned} & m-4=-3 \\ & m-4=1 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & m=1 \\ & m=5 \\ \end{aligned} \right.\) phương trình có 2 nghiệm phân biệt
d)
\(y'=3(x+1)^2-3\)
Gọi \(M(x_0;y_0)\) là tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị (C')
Ta lại có tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \(y=-\dfrac x 9+1\)
\(y'(x_0)=9\Rightarrow 3(x_0+1)^2-3=9\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x_0=1 \\ & x_0=-3 \\ \end{aligned} \right. \)
Vậy có hai tiếp điểm thỏa mãn \((1;1)\) và \((-3;-3)\)
Nên phương trình tiếp tuyến có dạng: \(y=9x-8\) hoặc \(y=9x+24\)