Giải bài 1 trang 18 – SGK môn Giải tích lớp 12
Áp dụng Quy tắc I, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số sau:
a) \(y=2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-36x-10\)
b) \(y={{x}^{4}}+2{{x}^{2}}-3\)
c) \(y=x+\dfrac{1}{x}\)
d) \(y={{x}^{3}}{{\left( 1-x \right)}^{2}}\)
e) \(y=\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}\)
a) \(y=2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-36x-10\)
Tập xác định: \(D=\mathbb{R} \).
\(y'=6{{x}^{2}}+6x-36;\,y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=2 \\ & x=-3 \\ \end{align} \right. \)
Bảng biến thiên
Hàm số đạt cực đại tại \(x=-3\) và \({{y}_{\text{CĐ}}}=71\).
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=2\) và \({{y}_{CT}}=-54 \).
b) \(y={{x}^{4}}+2{{x}^{2}}-3\)
Tập xác định: \(D=\mathbb{R} \).
\(y'=4{{x}^{3}}+4x=4x\left( {{x}^{2}}+1 \right);\,y'=0\Leftrightarrow x=0\)
Bảng biến thiên
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=0\) và \({{y}_{CT}}=-3 \).
c) \(y=x+\dfrac{1}{x}\)
Tập xác định: \(D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\).
\(y'=1-\dfrac{1}{{{x}^{2}}}=\dfrac{{{x}^{2}}-1}{{{x}^{2}}};\,y'=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-1=0\Leftrightarrow x=\pm 1\)
Bảng biến thiên
Hàm số đạt cực đại tại \(x=-1\) và \({{y}_{\text{CĐ}}}=-2\).
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=1\) và \({{y}_{CT}}=2 \).
d) \(y={{x}^{3}}{{\left( 1-x \right)}^{2}}\)
Tập xác định: \(D=\mathbb{R} \).
\(y'=3{{x}^{2}}{{\left( 1-x \right)}^{2}}-2{{x}^{3}}\left( 1-x \right)={{x}^{2}}\left( 1-x \right)\left( 3-5x \right);\,y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & x=1 \\ & x=\dfrac{3}{5} \\ \end{align} \right. \)
Bảng biến thiên
Hàm số đạt cực đại tại \(x=\dfrac{3}{5}\) và \({{y}_{\text{CĐ}}}=\dfrac{108}{3125}\).
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=1\) và \({{y}_{CT}}=0\).
e) \(y=\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}\)
Tập xác định: \(D=\mathbb{R} \).
\(y'=\dfrac{2x-1}{2\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}};\,y'=0\Leftrightarrow 2x-1=0\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}\)
Bảng biến thiên
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=\dfrac{1}{2}\) và \({{y}_{CT}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\).
Ghi nhớ: Quy tắc xét tìm cực trị: Quy tắc I.
1. Tìm tập xác định
2.Tính đạo hàm \(f'(x)\). Tìm các điểm tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
3. Lập bảng biến thiên.
4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.