Giải bài 5 trang 18 – SGK môn Giải tích lớp 12
Tìm \(a\) và \( b \) để các cực trị của hàm số
\(y=\dfrac{5}{3}a^2x^3+2ax^2-9x+b\)
đều là những số dương và \(x_0=-\dfrac{5}{9}\) là điểm cực đại.
Hướng dẫn:
Sử dụng quy tắc I, tìm các điểm cực đại và cực tiếu của hàm số. Sau đó giải phương trình \(y_{CT}>0\) ( vì \(y_{CT}>0\) thì \(y_{CĐ}>0\)).
Tập xác định: \(D=ℝ\)
* Với \(a=0\) thì hàm số \(y=-9x+b\) không có cực trị.
* Với \(a≠0\), ta có:
\(y'=5a^2x^2+4ax-9,\,y'=0⇔5a^2x^2+4ax-9=0⇔\left[ \begin{align} & x=-\dfrac{9}{5a} \\ & x=\dfrac{1}{a} \\ \end{align} \right. \)
+) Với \(a<0\) ta có bảng biến thiên
Vì \(x_0=\dfrac{-5}{9}\) là điểm cực đại nên \(\dfrac{1}{a}=-\dfrac{5}{9}\Leftrightarrow a=-\dfrac{9}{5} \)
Vì các cực trị của hàm số đều dương nên giá trị cực tiểu là số dương thì giá trị cực đại cũng là số dương.
\({{y}_{CT}}=y\left( -\dfrac{9}{5a} \right)=y\left( 1 \right)=\dfrac{5{{a}^{2}}}{3}+2a-9+b=-\dfrac{36}{5}+b>0\Leftrightarrow b>\dfrac{36}{5} \)
+) Với \(a>0\) ta có bảng biến thiên
Vì \(x_0=\dfrac{-5}{9}\) là điểm cực đại nên \(-\dfrac{9}{5a}=-\dfrac{5}{9}\Leftrightarrow a=\dfrac{81}{25} \)
Vì các cực trị của hàm số đều dương nên giá trị cực tiểu là số dương thì giá trị cực đại cũng là số dương.
\({{y}_{CT}}=y\left( \dfrac{1}{a} \right)=\dfrac{5}{3a}+\dfrac{2}{a}-\dfrac{9}{a}+b>0\Leftrightarrow b>\dfrac{400}{243}\)
Vậy \(\left\{ \begin{align} & a=-\dfrac{9}{5} \\ & b>\dfrac{36}{5} \\ \end{align} \right. \) hoặc \(\left\{ \begin{align} & a=\dfrac{81}{25} \\ & b>\dfrac{400}{243} \\ \end{align} \right. \) thì các cực trị của hàm số đều là những số dương và \(x_0=\dfrac{-5}{9}\) là điểm cực đại.
Ghi nhớ: Quy tắc xét tìm cực trị: Quy tắc I.
1. Tìm tập xác định
2.Tính đạo hàm \(f'(x)\). Tìm các điểm tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
3. Lập bảng biến thiên.
4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.