Giải bài 15 trang 101 – SGK môn Hình học lớp 12
Cho hai đường thẳng chéo nhau \(d:\left\{ \begin{aligned} & x=2-t \\ & y=-1+t \\ & z=1-t \\ \end{aligned} \right. \) và \( d':\left\{ \begin{aligned} & x=2+2t' \\ & y=t' \\ & z=1+t' \\ \end{aligned} \right. \)
a) Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) song song với nhau và lần lượt chứa d và d'.
b) Lấy hai điểm \(M\left( 2;-1;1 \right)\) và \(N\left( 2;0;1 \right)\) lần lượt trên d và d'. Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng \(\left( \beta \right)\) và khoảng cách từ M' đến mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\). So sánh hai khoảng cách đó.
a) Ta có \(\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( -1;1;-1 \right),\overrightarrow{{{u}_{d'}}}=\left( 2;1;1 \right)\)
Hai mặt phẳng có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}},\overrightarrow{{{u}_{d'}}} \right]=\left( 2;-1;-3 \right)\)
Lấy \(M\left( 2;-1;1 \right)\in d\) và \(N\left( 2;0;1 \right)\in d'\). Khi đó
Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là
\(2\left( x-2 \right)-\left( y+1 \right)-3\left( z-1 \right)=0 \\ \Leftrightarrow 2x-y-3z-2=0 \)
Phương trình mặt phẳng \(\left( \beta \right)\) là
\(2\left( x-2 \right)-y-3\left( z-1 \right)=0 \\ \Leftrightarrow 2x-y-3z-1=0 \)
b) Khoảng cách từ M đến mặt phẳng \(\left( \beta \right)\) là
\(d\left( M,\left( \beta \right) \right)=\dfrac{\left| 2.2-\left( -1 \right)-3.1-1 \right|}{\sqrt{4+1+9}}=\dfrac{1}{\sqrt{14}}\)
Khoảng cách từ M' đến mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là
\(d\left( M',\left( \alpha \right) \right)=\dfrac{\left| 2.2-0-3.1-2 \right|}{\sqrt{4+1+9}}=\dfrac{1}{\sqrt{14}}\)
Suy ra \(d\left( M,\left( \beta \right) \right)=d\left( M',\left( \alpha \right) \right)\)
Ghi nhớ:
Hai mặt phẳng song song có cùng vectơ pháp tuyến.
Khoảng cách từ điểm \(M (x_0, y_0)\) đến mặt phẳng \((\alpha) : ax+by+c=0\) là: \(d\left( M,\left( \alpha \right) \right)=\dfrac{\left| ax_0+by_0+c \right|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)