Giải bài 8 trang 100 – SGK môn Hình học lớp 12
Trong không gian Oxyz cho các điểm \(A\left( 1;0;-1 \right),B\left( 3;4;-2 \right),C\left( 4;-1;1 \right),D\left( 3;0;3 \right) \).
a) Chứng minh rằng A, B, C, D không đồng phẳng.
b) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) và tính khoảng cách từ D đến (ABC).
c) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
d) Tính thể tích tứ diện ABCD.
a) Ta có \(\overrightarrow{AB}=\left( 2;4;-1 \right),\overrightarrow{AC}=\left( 3;-1;2 \right),\overrightarrow{AD}=\left( 2;0;4 \right)\)
\(\left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right]=\left( 7;-7;-14 \right) \\ \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right].\overrightarrow{AD}=7.2+4.\left( -14 \right)=-42\ne 0 \)
Suy ra bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.
b) Mặt phẳng (ABC) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right]=\left( 7;-7;-14 \right)=7\left( 1;-1;-2 \right)\)
Phương trình mặt phẳng (ABC) là
\(x-1-y-2\left( z+1 \right)=0 \\ \Leftrightarrow x-y-2z-3=0 \)
Khoảng cách từ D đến (ABC) là
\(d\left( D,\left( ABC \right) \right)=\dfrac{\left| 3-2.3-3 \right|}{\sqrt{1+1+4}}=\dfrac{6}{\sqrt{6}}=\sqrt{6}\)
c) Phương trình tổng quát của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện có dạng
\({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2ax-2by-2cz+d=0\)
Vì A, B, C. D thuộc mặt cầu nên ta có hệ phương trình
\(\left\{ \begin{aligned} & 2-2a+2c+d=0 \\ & 29-6a-8b+4c+d=0 \\ & 18-8a+2b-2c+d=0 \\ & 18-6a-6c+d=0 \\ \end{aligned} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & d=2a-2c-2 \\ & 4a+8b-2c=27 \\ & 6a-2b+4c=16 \\ & 4a+8c=16 \\ \end{aligned} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & a=3 \\ & b=2 \\ & c=\dfrac{1}{2} \\ & d=3 \\ \end{aligned} \right. \)
Phương trình của mặt cầu là
\({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-6x-4y-z+3=0\)
d) Ta có \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0\Rightarrow AB\bot AC \)
\( AB=\sqrt{21},AC=\sqrt{14}\)
Thể tích của tứ diện là
\(V=\dfrac{1}{3}{{S}_{ABC}}.d\left( D,\left( ABC \right) \right)=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}.\sqrt{21}.\sqrt{14}.\sqrt{6}=7\)
Ghi nhớ:
Bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng khi \( \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right].\overrightarrow{AD}\ne 0 \)