Giải bài 16 trang 102 – SGK môn Hình học lớp 12
Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có phương trình \(4x+y+2z+1=0\) và mặt phẳng \(\left( \beta \right)\) có phương trình \(2x-2y+z+3=0 \).
a) Chứng minh rằng \(\left( \alpha \right)\) cắt \(\left( \beta \right)\).
b) Viết phương trình tham số của đường thẳng d là giao điểm của \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\).
c) Tìm điểm M' đối xứng với điểm \(M\left( 4;2;1 \right)\) qua mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
d) Tìm điểm N' đối xứng với điểm \(N\left( 0;2;4 \right)\) qua đường thẳng d.
a) Vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng là \(\overrightarrow{{{n}_{\left( \alpha \right)}}}=\left( 4;1;2 \right),\,\overrightarrow{{{n}_{\left( \beta \right)}}}=\left( 2;-2;1 \right) \)
Do \(\overrightarrow{{{n}_{\left( \alpha \right)}}}\ne k\overrightarrow{{{n}_{\left( \beta \right)}}}\) nên hai mặt phẳng cắt nhau
b) Giao tuyến d của hai mặt phẳng có vectơ chỉ phương
\(\overrightarrow{u}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( \alpha \right)}}},\overrightarrow{{{n}_{\left( \beta \right)}}} \right]=\left( 5;0;-10 \right)=5\left( 1;0;-2 \right)\)
Gọi M là giao điểm của hai mặt phẳng. Lấy x = 0 ta có M thỏa mãn hệ phương trình
\(\left\{ \begin{aligned} & y+2z+1=0 \\ & -2y+z+3=0 \\ \end{aligned} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & y=1 \\ & z=-1 \\ \end{aligned} \right. \)
Suy ra \(M\left( 0;1;-1 \right)\in d\)
Phương trình đường thẳng d là \(\left\{ \begin{aligned} & x=t \\ & y=1 \\ & z=-1-2t \\ \end{aligned} \right. \)
c) Phương trình đường thẳng d' qua m và vuông góc với \(\left( \alpha \right)\) là \(\left\{ \begin{aligned} & x=4+4t \\ & y=2+t \\ & z=1+2t \\ \end{aligned} \right. \)
Gọi H là giao điểm của d' và \(\left( \alpha \right)\).
Lấy \(H\left( 4+4t;2+t;1+2t \right)\in d'\), vì \(H\in \left( \alpha \right)\) nên
\(4\left( 4+4t \right)+2+t+2\left( 1+2t \right)+1=0 \\ \Leftrightarrow 21t+21=0 \\ \Leftrightarrow t=-1 \\ \Rightarrow H\left( 0;1;-1 \right) \)
Điểm M' đối xứng với M khi và chỉ khi H là trung điểm của MM'
\(\Rightarrow M'\left( -4;0;-3 \right)\)
d) Phương trình mặt phẳng (P) qua N và vuông góc với d là
\(x-2\left( z-4 \right)=0\Leftrightarrow x-2z+8=0\)
Gọi K là giao điểm của d và (P).
Lấy \(K\left( t;1;-1-2t \right)\in d\), vì \(K\in \left( P \right)\) nên
\(t-2\left( -1-2t \right)+8=0 \\ \Leftrightarrow 5t+10=0 \\ \Leftrightarrow t=-2 \\ \Rightarrow K\left( -2;1;3 \right) \)
Điểm N' đối xứng với N khi và chỉ khi H là trung điểm của NN'
\(\Rightarrow N'\left( -4;0;2 \right) \)
Ghi nhớ:
Nếu \(\overrightarrow{{{n}_{\left( \alpha \right)}}}\ne k\overrightarrow{{{n}_{\left( \beta \right)}}}\) thì \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\).
Vectơ pháp tuyến của đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) là \(\overrightarrow{u}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( \alpha \right)}}},\overrightarrow{{{n}_{\left( \beta \right)}}} \right]\)