Giải bài 2 trang 84 – SGK môn Giải tích lớp 12
Giải các phương trình mũ:
a) \({{3}^{2x-1}}+{{3}^{2x}}=108;\)
b) \({{2}^{x+1}}+{{2}^{x-1}}+{{2}^{x}}=28;\)
c) \({{64}^{x}}-{{8}^{x}}-56=0;\)
d) \({{3.4}^{x}}-{{2.6}^{x}}={{9}^{x}}.\)
Hướng dẫn:
Đưa về các lũy thừa có cùng cơ số hoặc sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ đưa về phương trình bậc hai để giải các bài toán.
a) \({{3}^{2x-1}}+{{3}^{2x}}=108;\)
\({{3}^{2x-1}}+{{3}^{2x}}=108\Leftrightarrow \dfrac{1}{3}{{.3}^{2x}}+{{3}^{2x}}=108\\ \Leftrightarrow \dfrac{4}{3}{{.3}^{2x}}=108\Leftrightarrow {{3}^{2x}}=81={{3}^{4}}\\ \Leftrightarrow 2x=4\Leftrightarrow x=2\)
Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S=\{2\}\).
b) \({{2}^{x+1}}+{{2}^{x-1}}+{{2}^{x}}=28;\)
\({{2}^{x+1}}+{{2}^{x-1}}+{{2}^{x}}=28\Leftrightarrow {{2.2}^{x}}+\dfrac{1}{2}{{.2}^{x}}+{{2}^{x}}=28 \\\Leftrightarrow \dfrac{7}{2}{{.2}^{x}}=28\Leftrightarrow {{2}^{x}}=8={{2}^{3}}\Leftrightarrow x=3\)
Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S=\{3\}\).
c) \({{64}^{x}}-{{8}^{x}}-56=0;\)
\({{64}^{x}}-{{8}^{x}}-56=0\Leftrightarrow {{8}^{2x}}-{{8}^{x}}-56=0 \)
Đặt \({{8}^{x}}=t,\,\left( t>0 \right)\) phương trình trở thành
\({{t}^{2}}-t-56=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & t=-7\,\left( \text{loại} \right) \\ & t=8\,\left( \text{thỏa mãn} \right) \\ \end{aligned} \right. \)
Với \(t=8\Leftrightarrow {{8}^{x}}=8={{8}^{1}}\Leftrightarrow x=1\)
Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S=\{1\}\).
d) \({{3.4}^{x}}-{{2.6}^{x}}={{9}^{x}}.\)
Chia cả hai vế cho \(9^x\) ta được:
\(3.{{\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{2x}}-2.{{\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{x}}-1=0 \)
Đặt \(\left( \dfrac{2}{3} \right)^x=t,\,\left( t>0 \right)\) phương trình trở thành
\(3{{t}^{2}}-2t-1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & t=1\,\left( \text{thỏa mãn} \right) \\ & t=-\dfrac{1}{3}\,\left( \text{loại} \right) \\ \end{aligned} \right. \)
Với \(t=1\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{x}}=1={{\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{0}}\Leftrightarrow x=0\)
Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S=\{0\}\).
Chú ý: Nếu phương trình chứa các lũy thừa có cơ số khác nhau thì đưa về cùng cơ số rồi đặt ẩn phụ. (Thông thường: ta chia cả hai vế cho lũy thừa có cơ số lớn nhất - ví dụ ý d).