Giải bài 3 trang 84 – SGK môn Giải tích lớp 12
Giải các phương trình lôgarit:
a) \({{\log }_{3}}\left( 5x+3 \right)={{\log }_{3}}\left( 7x+5 \right);\)
b) \(\log \left( x-1 \right)-\log \left( 2x-11 \right)=\log 2;\)
c) \({{\log }_{2}}\left( x-5 \right)+{{\log }_{2}}\left( x+2 \right)=3;\)
d) \(\log \left( {{x}^{2}}-6x+7 \right)=\log \left( x-3 \right).\)
Hướng dẫn:
Tìm điều kiện xác định rồi áp dụng \(\log_ax=\log_ay\Leftrightarrow x=y\).
a) \({{\log }_{3}}\left( 5x+3 \right)={{\log }_{3}}\left( 7x+5 \right);\)
Điều kiện: \(\left\{ \begin{aligned} & 5x+3>0 \\ & 7x+5>0 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & x>-\dfrac{3}{5} \\ & x>-\dfrac{5}{7} \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow x>-\dfrac{3}{5} \)
\(\Leftrightarrow 5x+3=7x+5\Leftrightarrow 2x=-2\Leftrightarrow x=-1\,\left( \text{loại} \right)\)
Vậy phương trình vô nghiệm.
b) \(\log \left( x-1 \right)-\log \left( 2x-11 \right)=\log 2;\)
Điều kiện: \(\left\{ \begin{aligned} & x-1>0 \\ & 2x-11>0 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & x>1 \\ & x>\dfrac{11}{2} \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow x>\dfrac{11}{2} \)
\(\Leftrightarrow \log \dfrac{x-1}{2x-11}=\log 2\Leftrightarrow \dfrac{x-1}{2x-11}=2\\ \Rightarrow x-1=4x-22\Leftrightarrow 3x=21\Leftrightarrow x=7\)
Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S=\left\{ 7 \right\} \).
c) \({{\log }_{2}}\left( x-5 \right)+{{\log }_{2}}\left( x+2 \right)=3;\)
Điều kiện: \(\left\{ \begin{aligned} & x-5>0 \\ & x+2>0 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & x>5 \\ & x>-2 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow x>5 \)
\({{\log }_{2}}\left[ \left( x-5 \right)\left( x+2 \right) \right]=3={{\log }_{2}}{{2}^{3}}\\ \Leftrightarrow \left( x-5 \right)\left( x+2 \right)=8\\ \Leftrightarrow {{x}^{2}}-3x-18=0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=6 \\ & x=-3\,\left( \text{loại} \right) \\ \end{aligned} \right. \)
Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S=\left\{ 6 \right\} \).
d) \(\log \left( {{x}^{2}}-6x+7 \right)=\log \left( x-3 \right).\)
Điều kiện: \(\left\{ \begin{aligned} & {{x}^{2}}-6x+7>0 \\ & x-3>0 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow x>3 \)
\({{x}^{2}}-6x+7=x-3\\ \Leftrightarrow {{x}^{2}}-7x+10=0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=5 \\ & x=2\,\left( \text{loại} \right) \\ \end{aligned} \right. \)
Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S=\left\{ 5 \right\} \).