Giải bài 4 trang 85 – SGK môn Giải tích lớp 12
Giải các phương trình lôgarit:
a) \(\dfrac{1}{2}\log \left( {{x}^{2}}+x-5 \right)=\log 5x+\log \dfrac{1}{5x};\)
b) \(\dfrac{1}{2}\log \left( {{x}^{2}}-4x-1 \right)=\log 8x-\log 4x;\)
c) \({{\log }_{\sqrt{2}}}x+4{{\log }_{4}}x+{{\log }_{8}}x=13. \)
Hướng dẫn:
Tìm điều kiện xác định rồi áp dụng \(\log_ax=\log_ay\Leftrightarrow x=y\).
a) \(\dfrac{1}{2}\log \left( {{x}^{2}}+x-5 \right)=\log 5x+\log \dfrac{1}{5x};\)
Điều kiện: \( \left\{ \begin{aligned} & {{x}^{2}}+x-5>0 \\ & x>0 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow x>\dfrac{-1+\sqrt{21}}{2} \)
\(\Leftrightarrow \log {{\left( {{x}^{2}}+x-5 \right)}^{\frac{1}{2}}}=\log \left( 5x.\dfrac{1}{5x} \right) \\\Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}+x-5}=1\\\Leftrightarrow {{x}^{2}}+x-5=1 \\\Leftrightarrow {{x}^{2}}+x-6=0\\\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=2 \\ & x=-3\,\left( \text{loại} \right) \\ \end{aligned} \right. \)
Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S=\left\{ {2} \right\} \)
b) \(\dfrac{1}{2}\log \left( {{x}^{2}}-4x-1 \right)=\log 8x-\log 4x;\)
Điều kiện: \(\left\{ \begin{aligned} & {{x}^{2}}-4x-1>0 \\ & x>0 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow x>2+\sqrt{5} \)
\(\log {{\left( {{x}^{2}}-4x-1 \right)}^{\frac{1}{2}}}=\log \dfrac{8x}{4x}\\ \Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}-4x-1}=2\\\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x-1=4 \\\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x-5=0\\\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=-1\,\left( \text{loại} \right) \\ & x=5 \\ \end{aligned} \right. \)
Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S=\left\{ {5} \right\} \)
c) \({{\log }_{\sqrt{2}}}x+4{{\log }_{4}}x+{{\log }_{8}}x=13. \)
Điều kiện: \(x>0 \)
\(\Leftrightarrow {{\log }_{{{2}^{\frac{1}{2}}}}}x+4{{\log }_{{{2}^{2}}}}x+{{\log }_{{{2}^{3}}}}x=13 \\ \Leftrightarrow 2{{\log }_{2}}x+4.\dfrac{1}{2}{{\log }_{2}}x+\dfrac{1}{3}{{\log }_{2}}x=13 \\ \Leftrightarrow \dfrac{13}{3}{{\log }_{2}}x=13 \\ \Leftrightarrow {{\log }_{2}}x=3\Leftrightarrow x={{2}^{3}}=8 \)
Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S=\left\{ {8} \right\} \).