Giải bài 27 trang 67 - SGK Toán lớp 7 Tập 2
Hãy chứng minh định lí đảo của định lí trên: Nếu tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó cân.
Hướng dẫn:
Bài toán: Tam giác \(ABC\) có \(BM, \, CN\) là các đường trung tuyến, chúng cắt nhau tại \(G\). Biết \(BM = CN\) hãy chứng minh tam giác \(ABC\) cân tại \(A\)
Bước 1: Chứng minh \(GC = GB, \, GM =GN\)
Bước 2: Chứng minh \(\triangle{BGN} = \triangle{CGM} \)
Bước 3: Chỉ ra \(AB = AC\)
Bài giải:
Gọi \(G\) là giao điểm của hai đường trung tuyến \(BM\) và \(CN.\) Do đó \(G\) là trọng tâm \(\triangle{ABC}.\)
Suy ra
\(\left.\begin{array}{l} CG = \dfrac{2}{3}CN\\ BG = \dfrac{2}{3}BM\\ \text{Lại có}\,\,CN = BM\,\, (\text{giả thiết})\end{array} \right\} \Rightarrow CG = BG\)
Ta có: \(NG = CN - CG = BM - BG = GM\)
Xét \(\triangle{BGN}\) và \(\triangle{CGM}\) có:
\(CG = BG\) (giả thiết)
\(\widehat{G_1} = \widehat{G_2}\) (hai góc đối đỉnh)
\(NG = GM\) (chứng minh trên)
\(\Rightarrow \triangle{BGN} = \triangle{CGM} \) (cạnh - góc - cạnh)
\(\Rightarrow BN = CM\) (cặp cạnh tương ứng)
\(\Rightarrow 2BN = 2CM\)
Hay \(AB = AC\)
Vậy \(\triangle{ABC}\) cân tại \(A\) (đpcm)