Giải bài 30 trang 67 - SGK Toán lớp 7 Tập 2

Hướng dẫn:

Áp dụng tính chất ba đường trung tuyến trong tam giác.

Bài giải:

 Gọi \(E, \,M, \,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB,\, BC,\, CA.\)
\(G\) là trọng tâm của \(ΔABC\) (giả thiết)
\(\Rightarrow GA = \dfrac{2}{3} AM\) (tính chất trọng tâm trong tam giác)
Mà \(GA = GG'\) (\(G\) là trung điểm của \(AG'\))
\(\Rightarrow GG' = \dfrac{2}{3} AM\)
\(G\) là trọng tâm của \(ΔABC\) (giả thiết)
\(\Rightarrow GB = \dfrac{2}{3} BN\) (tính chất trọng tâm trong tam giác)
\(GM = \dfrac{1}{2} AG\) (\(G\) là trọng tâm)
\(AG = GG'\) (giả thiết)
\(M\) là trung điểm của \(GG'\)
\(\Rightarrow GM = \dfrac{1}{2} GG'\)
Xét \(ΔGMC\) và \(ΔG'MB\) có:
\(GM = MG'\) (\(M\) là trung điểm của \(GG'\))
\(\widehat{GMC} = \widehat{G'MB}\) (cặp góc đối đỉnh)
\(MB = MC\) (vì \(M\) là trung điểm của \(BC\))
\(\Rightarrow ΔGMC = ΔG'MB\) (cạnh - góc - cạnh)
\(\Rightarrow BG' = CG\) (cặp cạnh tương ứng)
Mà \(CG = \dfrac{2}{3} CE\) (\(G\) là trọng tâm \(ΔABC\))
\(\Rightarrow BG' = \dfrac{2}{3} CE\)

Vậy mỗi cạnh của \(ΔBGG'\) bằng \(\dfrac{2}{3}\) đường trung tuyến của \(ΔABC.\)
b) Gọi \(I, \, K\) lần lượt là trung điểm của \(BG\) và \(BG'.\)
Ta có: \(BM\) là trung tuyến của \(ΔBGG'\)
Mà \(M\) là trung điểm của \(BC\) nên \(BM = \dfrac{1}{2}BC\)
Vì \(IG = \dfrac{1}{2}BG\) (\(I\) là trung điểm \(BG\))
\(GN = \dfrac{1}{2}BG\) (\(G\) là trọng tâm)
\(\Rightarrow IG = GN\)
Xét \(ΔIGG'\) và \(ΔNGA\) có:
\(IG = GN\) (chứng minh trên)
\(\widehat{IGG'} = \widehat{NGA}\) (cặp góc đối đỉnh)
\(GG' = GA\) (vì \(G\) là trung điểm của \(AG'\))
\(\Rightarrow ΔIGG' = ΔNGA\) (cạnh - góc - cạnh)
\(\Rightarrow IG' = AN\) (cặp cạnh tương ứng)
\(\Rightarrow IG' = \dfrac{1}{2}AC\)
Gọi \(K\) là trung điểm của \(BG\)
\(\Rightarrow GK\) là trung tuyến của \(ΔBGG'\)
Vì \(GE = \dfrac{1}{2}GC\)  (\(G\) là trọng tâm \(ΔABC\))
\(BG' = GC\) (chứng minh trên)
\(\Rightarrow GE = \dfrac{1}{2}BG'\)
Mà \(K\) là trung điểm của \(BG'\)
\(\Rightarrow KG' = KB \)
\(\Rightarrow KG' = GE\)
Vì \(ΔGMC = ΔG'MB\) (chứng minh trên)
\(\Rightarrow \widehat{GCM} = \widehat{G'BM} \) (cặp góc tương ứng)
\(\Rightarrow CE // BG'\) (cặp góc so le trong bằng nhau)
\(\Rightarrow \widehat{AGE} = \widehat{GG'K}\)  (cặp góc đồng vị)
 Xét \(ΔAGE\) và \(ΔGG'K\) có:
\(GA = GG'\) (chứng minh trên)
\(\widehat{AGE} = \widehat{GG'K}\)  (chứng minh trên)
\(GE = G'K\)
\(\Rightarrow ΔAGE = ΔGG'K\) (cạnh - góc - cạnh)
\(\Rightarrow AE = GK\) (cặp cạnh tương ứng)
Mà \(AE = \dfrac{1}{2}AB\) nên \(GK = \dfrac{1}{2}AB\)
Vậy mỗi đường trung tuyến của \(ΔBGG'\) bằng một nửa cạnh của \(ΔABC\) tương ứng với nó.