Giải bài 34 trang 17 - SGK Toán lớp 8 Tập 1
Rút gọn các biểu thức sau:
a) \((a + b)^2 - (a - b)^2\)
b) \((a + b)^3 - (a - b)^3 - 2b^3\)
c) \((x + y + z)^2 - 2(x + y + z)(x + y) + (x + y)^2\)
Hướng dẫn:
Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để biến đổi và rút gọn biểu thức:
a) \((a + b)^2 - (a - b)^2 \)
\(= (a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 - 2ab + b^2)\)
\(= a^2 + 2ab + b^2 - a^2 + 2ab - b^2 \)
\(= 4ab\)
Hoặc \((a + b)^2 - (a - b)^2 \)
\(= [(a + b) + (a -b)][(a + b) - (a - b)]\)
\(= (a + b + a - b)(a + b - a + b) \)
\(= 2a.2b \)
\(= 4ab\)
b) \((a + b)^3 - (a - b)^3 - 2b^3 \)
\(= (a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3) - (a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3) - 2b^3\)
\(= a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 - a^3 + 3a^2b - 3ab^2 + b^3 - 2b^3 \)
\(= 6a^2b\)
Hoặc \((a + b)^3 - (a - b)^3 - 2b^3 = [(a + b)^3 - (a - b)^3] - 2b^3\)
\(= [(a + b) - (a - b)][(a + b)^2 + (a + b)(a - b) + (a - b)^2] - 2b^3\)
\(= (a + b - a + b)(a^2 + 2ab + b^2 + a^2 - b^2 + a^2 - 2ab + b^2) - 2b^3\)
\(= 2b.(3a^2 + b^2) - 2b^3 \)
\(= 6a^2b + 2b^3 - 2b^3 \)
\(= 6a^2b\)
c) \((x + y + z)^2 - 2(x + y +z)(x + y) + (x + y)^2\)
\(= x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2xz - 2(x^2 + xy + yx + y^2 + zx + zy) + x^2 + 2xy + y^2\)
\(= 2x^2 + 2y^2 + z^2 + 4xy + 2yz + 2xz - 2x^2 - 4xy - 2y^2 - 2xz - 2yz \)
\(= z^2\)
Ghi nhớ:
7 hằng đẳng thức đáng nhớ:
\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\\ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2\\ a^2-b^2=(a-b)(a+b)\\ (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\\ (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\\ a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\\ a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\)