Giải bài 15 trang 135 – SGK Toán lớp 9 tập 2
Tam giác ABC cân tại A có cạnh đáy nhỏ hơn cạnh bên, nội tiếp đường tròn (O).Tiếp tuyến tại B và C của đường tròn lần lượt cắt tia AC và
tia AB ở D và E. Chứng minh:
a) \(BD^2 = AD.CD\)
b) Tứ giác BCDE là tứ giác nội tiếp
c) BC song song với DE
a) Xét \(\Delta ADB\) và \(\Delta BDC\) có:
\(\widehat{BAC}=\widehat{CBD}\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn \(\overset\frown{BC}\))
\(\widehat{D}\) chung
\(\Rightarrow \Delta ADB\sim \Delta BDC\,\left( g.g \right)\)
\(\Rightarrow \dfrac{BD}{DC}=\dfrac{AD}{BD}\) (hai cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
\(\Rightarrow B{{D}^{2}}=AD.CD\)
b) Ta có \(\left\{ \begin{aligned} & \widehat{ADB}=\dfrac{\text{sđ}\overset\frown{AB}-\text{sđ}\overset\frown{BC}}{2} \\ & \widehat{AEC}=\dfrac{\text{sđ}\overset\frown{AC}-\text{sđ}\overset\frown{BC}}{2} \\ \end{aligned} \right.\) (định lí góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn)
Mà \(AB=AC\Rightarrow \overset\frown{AB}=\overset\frown{AC}\) (định lí quan hệ giữa dây và cung)
\(\Rightarrow \widehat{ADB}=\widehat{AEC}\)
Suy ra các điểm B và E cùng nhìn BC dưới một góc không đổi
Suy ra tứ giác BCDE nội tiếp đường tròn.
c) Ta có: \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) (\(ΔABC\) cân tại A) (1)
Vì tứ giác BCDE nội tiếp ta có:
\(\widehat{ABC}=\widehat{CDE}\) (góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện) (2)
Từ (1)và (2) ta có: \(\widehat{ACB}=\widehat{CDE}\)
\(⇒ BC//DE\) (hai góc ở vị trí đồng vị bằng nhau)