Giải bài 7 trang 134 – SGK Toán lớp 9 tập 2

Cho tam giác đều ABC, O là trung điểm của BC. Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm di động D và E sao cho góc \(DOE = 60^o\).

a) Chứng minh tích BD.CE không đổi.

b) Chứng minh \(ΔBOD ∼ ΔOED\). Từ đó suy ra tia DO là tia phân giác của góc BDE.

c) Vẽ đường tròn tâm O tiếp xúc với AB. Chứng minh rằng đường tròn này luôn tiếp xúc với DE.

Lời giải:

Hướng dẫn:
a) Chứng minh BD.CE=OB.OC
b) Chứng minh khoảng cách từ tâm đến AB bằng khoảng cách từ O đến DE

a) Trong \(\Delta OEC\) có: \(\widehat{OEC}+\widehat{EOC}+\widehat{ECO}={{180}^{o}}\) (định lí tổng ba góc của tam giác)

Mà \(\widehat{ECO}=\widehat{DOE}={{60}^{o}}\) (giả thiết)

\(\Rightarrow \widehat{OEC}+\widehat{EOC}+\widehat{DOE}={{180}^{o}}\)

Lại có: \(\widehat{DOB}+\widehat{EOC}+\widehat{DOE}={{180}^{o}}\)

\(\Rightarrow \widehat{OEC}=\widehat{DOB}\)

Xét \(\Delta BOD\) và \(\Delta CEO\) có:

\(\begin{aligned} & \widehat{OBD}=\widehat{ECO}={{60}^{o}}\\ \\ & \widehat{OEC}=\widehat{DOB} \\ \end{aligned}\)

\(\Rightarrow \Delta BOD\sim \Delta CEO (g.g)\)

\(\Rightarrow \dfrac{OB}{EC}=\dfrac{BD}{OC}\) (hai cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

\(\Rightarrow BD.EC=OB.OC\)

Mà OB.OC không đổi nên BD.EC không đổi.

b) Ta có \(\Delta BOD\sim \Delta CEO\) (chứng minh trên)

\(\Rightarrow \dfrac{BD}{OC}=\dfrac{OD}{OE} \Rightarrow \dfrac{BD}{OD}=\dfrac{OB}{OE} \)

Xét \(\Delta BOD\) và \(\Delta OED\) có:

\(\begin{aligned} & \dfrac{BD}{OD}=\dfrac{OB}{OE} \\\\ & \widehat{DOB}=\widehat{DOE}=6{{0}^{o}} \\\\ & \Rightarrow \Delta BOD\sim \Delta OED\,\left( c.g.c \right) \\ \end{aligned}\)

\(\Rightarrow \widehat{IDO}=\widehat{KDO}\) (hai góc tương ứng)

c) Kẻ \(OK\bot DE\), gọi I là tiếp điểm của (O) với AB.

Xét hai tam giác vuông \(\Delta OID\) và \(\Delta OKD\) có:

OD chung

\(\widehat{IDO}=\widehat{KDO}\,\) (chứng minh trên)

\(\Rightarrow \Delta OID=\Delta OKD\) (cạnh huyền và góc nhọn)

\(\Rightarrow OI=OK\) (hai cạnh tương ứng)

Vậy đường tròn (O) luôn tiếp xúc với DE.

Bài trước Bài sau

Lớp 9

B. Phần hình học

Lớp 9

Chương 1: Sinh vật và môi trường Chương 1. Căn bậc hai. Căn bậc ba Chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông Chương 1: Liên Xô và các nước Đông Âu sau chiến tranh Thế giới thứ hai Chương 1: Việt Nam trong những năm 1919 - 1930 Chương 1: Căn bậc hai. Căn bậc ba Chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông Chương 1: Các thí nghiệm của Menđen Chương 1: Điện học Địa Lý Dân Cư Chương 1: Các loại hợp chất vô cơ Chương 2: Hệ sinh thái Chương 2. Hàm số bậc nhất Chương 2: Đường tròn Chương 2: Các nước Á, Phi, Mĩ Latinh từ năm 1945 đến nay Chương 2: Việt Nam trong những năm 1930 - 1939 Chương 2: Hàm số bậc nhất Chương 2: Đường tròn Chương 2: Nhiễm sắc thể Chương 2: Điện tử học Địa Lý Kinh Tế Chương 2: Kim loại Chương 3: Con người, dân số và môi trường Chương 3: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn Chương 3: Góc với đường tròn Chương 3: Mĩ, Nhật Bản, Tây Âu từ năm 1945 đến nay Chương 3: Cuộc vận động tiến tới cách mạng tháng Tám năm 1945 Chương 3: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn Chương 3: ADN và gen Chương 3: Quang học Chương 3: Góc với đường tròn Sự Phân Hóa Lãnh Thổ Chương 3: Phi kim. Sơ lược về bảng tuần hoàn các nguyên tố hóa học Chương 4: Bảo vệ môi trường Chương 4. Hàm số y = ax² (a ≠ 0). Phương trình bậc hai một ẩn Chương 4: Hình trụ - Hình nón - Hình cầu Chương 4: Quan hệ quốc tế từ năm 1945 đến nay Chương 4: Việt Nam từ sau Cách mạng tháng Tám đến toàn quốc kháng chiến Chương 4. Hàm số y = ax² (a ≠ 0). Phương trình bậc hai một ẩn Chương 4: Sự bảo toàn và chuyển hóa năng lượng Chương 4: Biến dị Chương 4: Hình trụ - Hình nón - Hình cầu Địa Lý Địa Phương Chương 4: Hiđrocacbon. Nhiên liệu Chương 5: Cuộc cách mạng khoa học - kĩ thuật từ năm 1945 đến nay Chương 5: Việt Nam từ cuối năm 1946 đến năm 1954 Chương 5: Di truyền học người Chương 5: Dẫn xuất của Hiđrocacbon. Polime Chương 6: Việt Nam từ năm 1954 đến năm 1975 Chương 6: Ứng dụng di truyền học Chương 7: Việt Nam từ năm 1975 đến năm 2000

Lớp 9

Lớp 9 Tập 1 Lớp 9 Tập 2

+ Mở rộng xem đầy đủ