Giải bài 37 trang 56 – SGK Toán lớp 9 tập 2
Giải các phương trình trùng phương
a) \(9x^4-10x^2+1=0\)
b) \(5x^4+2x^2-16=10-x^2\)
c) \(0,3x^4+1,8x^2+1,5=0\)
d) \(2x^2+1=\dfrac{1}{x^2}-4\)
Hướng dẫn: Phương trình trùng phương có dạng \(ax^4+bx^2+c=0\,\,(a\ne 0)\)
- Để giải phương trình trùng phương: Đặt \(x^2=t\)
- Phương trình trở thành phương trình bậc hai ẩn t: \(at^2+bt+c=0\)
- Giải phương trình tìm t rồi tìm \(x\).
a) \(9x^4-10x^2+1=0\)
Đặt \(x^2=t\,\,(t\ge 0)\)
Phương trình trở thành: \(9t^2-10t+1=0\) (*)
Có \(a=1;b=-10;c=1\Rightarrow a+b+c=0\)
Vậy phương trình (*) có hai nghiệm \(\left\{ \begin{align} & t_1=1 \\ & t_2=\dfrac 1 9 \\ \end{align} \right. \)
Với \(t=1\Rightarrow x^2=1\Leftrightarrow x=\pm1\)
Với \(t=\dfrac 1 9\Rightarrow x^2=\dfrac 1 9\Leftrightarrow x=\pm\dfrac 1 3\)
Vậy phương trình có 4 nghiệm \(x\in \left\{\pm 1;\pm\dfrac 1 3\right\}\)
b) \(5x^4+2x^2-16=10-x^2\Leftrightarrow 5x^4+3x^2-26=0\)
Đặt \(x^2=t\,\,(t\ge 0)\)
Phương trình trở thành: \(5t^2+3t-26=0\) (*)
Có \(a=5;b=3;c=-26\Rightarrow \Delta=9-4.5.(-26)=529>0\)
Vậy phương trình (*) có hai nghiệm \(\left\{ \begin{align} & t_1=\dfrac{-3+\sqrt{529}}{2.5}=2 \\ & t_2=\dfrac{-3-\sqrt{529}}{2.5}=-2,6\,\,\,\text{(loại)} \\ \end{align} \right. \)
Với \(t=2\Rightarrow x^2=2\Leftrightarrow x=\pm\sqrt 2\)
Vậy phương trình có 2 nghiệm \(x\in \left\{\pm\sqrt2\right\}\)
c) \(0,3x^4+1,8x^2+1,5=0\Leftrightarrow x^4+6x^2+5=0\)
Đặt \(x^2=t\,\,(t\ge 0)\)
Phương trình trở thành: \(t^2+6t+5=0\) (*)
Có \(a=1;b=6;c=5\Rightarrow a-b+c=0\)
Vậy phương trình (*) có hai nghiệm \(\left\{ \begin{align} & t_1=-1\,\,\,\text{(loại)} \\ & t_2=-5\,\,\,\text{(loại)} \\ \end{align} \right. \)
Vậy phương trình vô nghiệm.
d) ĐKXĐ: \(x\ne 0\)
\(2x^2+1=\dfrac{1}{x^2}-4\Rightarrow 2x^4+5x^2-1=0\)
Đặt \(x^2=t\,\,(t\ge 0)\)
Phương trình trở thành: \(2t^2+5t-1=0\) (*)
Có \(a=2;b=5;c=-1\Rightarrow \Delta=5^2-4.2.(-1)=33>0\)
Vậy phương trình (*) có hai nghiệm \(\left\{ \begin{align} & t_1=\dfrac{-5+\sqrt{33}}{4} \\ & t_2=\dfrac{-5-\sqrt{33}}{4}\,\,\,\text{(loại)} \\ \end{align} \right. \)
Với \(t=\dfrac{-5+\sqrt{33}}{4}\Rightarrow x^2=\dfrac{-5+\sqrt{33}}{4}\Leftrightarrow x=\pm\dfrac{\sqrt{-5+\sqrt{33}}}{2}\)
Vậy phương trình có 2 nghiệm \(x\in \left\{\pm\dfrac{\sqrt{-5+\sqrt{33}}}{2}\right\}\)