Giải bài 11 trang 161 – SGK môn Đại số lớp 10
Chứng minh rằng trong một tam giác ABC ta có:
\(a)\,\tan A+\tan B+\tan C=\tan A.\tan B. \tan C\) (\(\widehat A , \widehat B, \widehat C \) khác \(\dfrac {\pi}{2}\))
\(b)\,2\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C=4\sin A.\sin B. \sin C\)
Hướng dẫn:
Trong một tam giác ta luôn có \(\widehat A + \widehat B+\widehat C =180^o\Rightarrow \widehat C=180^o-(\widehat A+\widehat B)\)
Áp dụng liên hệ giữa các cung bù nhau:
\(\sin \alpha =\sin (\pi-\alpha)\\ \cos \alpha =-\cos(\pi-\alpha)\\ \tan \alpha =-\tan (\pi-\alpha)\)
a)
Ta có:
\(\begin{align} & \tan \left( A+B \right)=\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B} \\ & \Leftrightarrow -\tan C=\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}\,\,\left( \text{vì}\,\,\widehat{C}={{180}^{o}}-\left( \widehat{A}+\widehat{B} \right) \right) \\ & \Leftrightarrow \tan A+\tan B+\tan C=\tan A\tan B\tan C \\ \end{align} \)
b)
\(\begin{align} & \sin 2A+\sin 2B+\sin 2C=2\sin \left( A+B \right)\cos \left( A-B \right)+2\sin C\cos C \\ & =2\sin C\cos (A-B)+2\sin C\cos C \\ & =2\sin C\left[ \cos \left( A-B \right)+\cos C \right] \\ & =2\sin C\left[ \cos \left( A-B \right)-\cos \left( A+B \right) \right] \\ & =2\sin C\left[ -2\sin \left( A \right)\sin \left( -B \right) \right] \\ & =4\sin A\sin B\sin C \\ \end{align} \)