Giải bài 4 trang 160 – SGK môn Đại số lớp 10
Chứng minh các bất đẳng thức sau
a) \(5(x-1)< x^5-1<5x^4(x-1)\) nếu \(x-1 >0\)
b) \(x^5+y^5-x^4y-xy^4\ge 0\) biết rằng \(x+y\ge 0\)
c) \(\sqrt{4a+1}+\sqrt{4b+1}+\sqrt{4c+1}<5\)
Biết rằng a, b, c cùng lớn hơn \(-\dfrac 1 4\) và \(a+b+c=1\)
Gợi ý:
Áp dụng bảng tính chất của bất đẳng thức trang 75 SGK Đại số 10.
a)
Với \(x-1 >0\Leftrightarrow x>1\) ta có:
\(x^5-1-5(x-1)=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)-5(x-1)\\ =(x-1)(x^4+x^3+x^2+x-4)>0\)
Do đó: \(x^5-1>5(x-1)\)
Tương tự, ta có:
\(5x^4(x-1)-(x^5-1)=5x^4(x-1)-(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)\\ =(x-1)(4x^4-x^3-x^2-x-1)>0\)
Do vậy \(5x^4(x-1)>x^5-1\)
Vậy ta được điều phải chứng minh
b) Ta có:
\(A=x^5+y^5-x^4y-xy^4\\ =x^4(x-y)+y^4(y-x)\\ =(x^4-y^4)(x-y)\\ =(x^2+y^2)(x+y)(x-y)^2\ge 0\,\,\forall x+y\ge 0\)
Vậy \(A\ge 0\) với mọi x, y sao cho \(x+y \ge 0\)
c)
Với \(a\ge -\dfrac{1}{4};b\ge -\dfrac{1}{4};c\ge -\dfrac{1}{4}\) ta có:
\(\begin{aligned} & B=\sqrt{4a+1}+\sqrt{4b+1}+\sqrt{4c+1} \\ & <\sqrt{4{{a}^{2}}+4a+1}+\sqrt{4{{b}^{2}}+4b+1}+\sqrt{4{{c}^{2}}+4c+1} \\ & =\left| 2a+1 \right|+\left| 2b+1 \right|+\left| 2c+1 \right| \\ \end{aligned} \)
Vì \(a\ge -\dfrac{1}{4}>-\dfrac{1}{2};b\ge -\dfrac{1}{4}>-\dfrac{1}{2};c\ge -\dfrac{1}{4}>-\dfrac{1}{2} \)
Nên
\( \begin{aligned} & B<2a+1+2b+1+2c+1 \\ & =2\left( a+b+c \right)+3 \\ & =5 \\ \end{aligned} \)
Vậy ta được điều phải chứng minh