Giải bài 20 trang 64 - SGK Toán lớp 7 Tập 2
Một cách chứng minh khác của bất đẳng thức tam giác:
Cho tam giác \(ABC.\) Giả sử \(BC\) là cạnh lớn nhất. Kẻ đường vuông góc \(AH\) đến đường thẳng \(BC\) (\(H\) thuộc \(BC\)).
a) Dùng nhận xét về cạnh lớn nhất trong tam giác vuông ở \(\S1\) để chứng minh \(AB + AC > BC.\)
b) Từ giả thiết về cạnh \(BC,\) hãy suy ra hai bất đẳng thức tam giác còn lại.
Hướng dẫn:
Trong tam giác vuông góc vuông là cạnh lớn nhất nên cạnh đối diện với góc vuông là cạnh lớn nhất trong tam giác.
Bài giải:
a) Ta biết rằng trong tam giác vuông thì cạnh huyền là cạnh lớn nhất, do đó:
Trong \(ΔAHC\) vuông tại \(H\) ta có: \(HC < AC\)
Trong \(ΔAHB\) vuông tại \(H\) ta có: \(HB < AB\)
Cộng vế theo vế hai bất đẳng thức ta có:
\(HB + HC < AC + AB\)
Vì \(HB + HC = BC\) nên \(BC < AC + AB\) (đpcm)
b) \(BC\) là cạnh lớn nhất nên suy ra \(AB < BC\) và \(AC < BC\)
Vì \(AB, AC > 0\) nên \(AB < BC + AC;\) \(AC < BC + AB\) (đpcm)
(Cộng thêm \(AC\) hoặc \(AB\) vào vế phải của bất đẳng thức)