Giải bài 7 trang 92 – SGK môn Hình học lớp 11
Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và BD của tứ diện ABCD. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng MN và P là một điểm bất kì trong không gian. Chứng minh rằng:
a) \( \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID}=\overrightarrow{0};\)
b) \( \overrightarrow{PI}=\dfrac{1}{4}\left( \overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PD} \right). \)
Hướng dẫn:
Nếu I là trung điểm của AB và M là điểm bất kỳ ta luôn có \( \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI} \)
Sử dụng quy tắc ba điểm để biến đổi mỗi vectơ
a) Vì M, N là trung điểm của AC và BD nên:
\(\begin{aligned} & \left\{ \begin{aligned} & \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IC}=2\overrightarrow{IM} \\ & \overrightarrow{IB}+\overrightarrow{ID}=2\overrightarrow{IN} \\ \end{aligned} \right. \\ & \Rightarrow \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{ID}=2\left( \overrightarrow{IM}+\overrightarrow{IN} \right) \\ \end{aligned}\)
Mà I là trung điểm của MN nên \(\overrightarrow{IM}+\overrightarrow{IN}=\overrightarrow{0} \)
Do vậy \( \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{ID}=\overrightarrow{0}\)
b)
Ta có:
\(\begin{align} & \overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PD}=\left( \overrightarrow{PI}+\overrightarrow{IA} \right)+\left( \overrightarrow{PI}+\overrightarrow{IB} \right)+\left( \overrightarrow{PI}+\overrightarrow{IC} \right)+\left( \overrightarrow{PI}+\overrightarrow{ID} \right) \\ & =4\overrightarrow{PI}+\left( \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID} \right) \\ & =4\overrightarrow{PI} \\ & \Rightarrow \overrightarrow{PI}=\dfrac{1}{4}\left( \overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PD} \right) \\ \end{align} \)