Giải bài 9 trang 92 – SGK môn Hình học lớp 11
Cho tam giác ABC. Lấy điểm S nằm ngoài mặt phẳng (ABC). Trên đoạn SA lấy điểm M sao cho \(\overrightarrow{MS}=-2\overrightarrow{MA}\) và trên đoạn BC lấy điểm N sao cho \(\overrightarrow{NB}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{NC}\). Chứng minh rằng ba vectơ \(\overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{MN},\,\overrightarrow{SC} \) đồng phẳng.
Hướng dẫn
Để chứng minh ba vectơ \(\overrightarrow{a},\,\overrightarrow{b},\,\overrightarrow{c} \) đồng phẳng ta cần chỉ ra tồn tại cặp số \(m, n\) sao cho \(\overrightarrow{a}=\,m\,\overrightarrow{b}+n\,\overrightarrow{c} \)
Ta có:
\(\begin{align} & \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MS}+\overrightarrow{SC}+\overrightarrow{CN} \\ & \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BN}\Rightarrow 2\overrightarrow{MN}=2\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BN} \\ \end{align} \)
Suy ra:
\(\begin{align} & 3\overrightarrow{MN}=\underbrace{\left( \overrightarrow{MS}+2\overrightarrow{MA} \right)}_{\overrightarrow{0}}+\underbrace{\left( \overrightarrow{CN}+2\overrightarrow{BN} \right)}_{\overrightarrow{0}}+\overrightarrow{SC}+2\overrightarrow{AB} \\ & =\overrightarrow{SC}+2\overrightarrow{AB} \\ \end{align}\)
Vậy \(\overrightarrow{MN}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{SC}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB} \)
Vậy ba vectơ \(\overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{MN},\,\overrightarrow{SC} \) đồng phẳng.