Giải bài 6 trang 142 - SGK Đại số và Giải tích lớp 11
Cho hai hàm số: \(f(x)=\dfrac{1-{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}}\) và \(g(x)=\dfrac{{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+1}{{{x}^{2}}}\)
a) Tính \(\lim\limits_{x\to 0 }\,f(x);\,\,\lim\limits_{x\to 0}\,g(x);\,\,\lim\limits_{x\to +\infty }\,f(x)\) và \(\lim\limits_{x\to +\infty }\,g(x)\)
b) Hai đường cong sau đây (hình dưới) là đồ thị của hai hàm số đã cho. Từ kết quả câu a), hãy xác định xem đường cong nào là đồ thị của hàm số đó.
a)
\(\bullet \,\lim\limits_{x\to 0}\,f(x)=\lim\limits_{x\to 0}\,\dfrac{1-{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}}=+\infty\)
Vì \(\lim\limits_{x\to 0}\,\left( 1-{{x}^{2}} \right)=1\) và \(\lim\limits_{x\to 0}\,{{x}^{2}}=0;\,{{x}^{2}}>0\,\,\forall x\ne 0\)
\(\bullet \,\,\lim\limits_{x\to 0}\,g(x)=\lim\limits_{x\to 0}\,\dfrac{{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+1}{{{x}^{2}}}=+\infty\)
\(\bullet \,\,\lim\limits_{x\to +\infty }\,f(x)=\lim\limits_{x\to +\infty }\,\dfrac{1-{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}}=\lim\limits_{x\to +\infty }\,\dfrac{{{x}^{2}}\left( \dfrac{1}{{{x}^{2}}}-1 \right)}{{{x}^{2}}}=\lim\limits_{x\to +\infty }\,\left( \dfrac{1}{{{x}^{2}}}-1 \right)=-1\)
\(\bullet \,\,\lim\limits_{x\to +\infty }\,g(x)=\,\lim\limits_{x\to +\infty }\,\dfrac{{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+1}{{{x}^{2}}}=\lim\limits_{x\to +\infty }\,\dfrac{{{x}^{3}}\left( 1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{{{x}^{3}}} \right)}{{{x}^{2}}}\\=\lim\limits_{x\to +\infty }\,x\left( 1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{{{x}^{3}}} \right)=+\infty \)
b)