Giải bài 3 trang 141 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11
Cho hàm số:
\(f(x)=\left\{ \begin{align} & 3x+2\,\,\text{nếu}\,\,x< -1 \\ & {{x}^{2}}-1\,\,\,\text{nếu}\,\,x\,\,\ge -1 \\ \end{align} \right.\)
a) Vẽ đồ thị hàm số \(y=f(x)\) . Từ đó nêu nhận xét về tính liên tục của hàm số trên tập xác định của nó.
b) Khẳng định nhận xét trên bằng một chứng minh.
Gợi ý:
a) Hàm số liên tục có đồ thị là một nét liền trên tập xác định của nó.
b) Chứng minh dựa vào định nghĩa 1 trang 136, SGK Đại số và Giải tích 11.
a) Vẽ đồ thị hàm số:
- Vẽ đường thẳng \(y=3x+2\) với \(x<-1\) đi qua hai điểm \((-2;-4)\)và \((-1;-1)\). Xóa phần đồ thị nằm trên nửa mặt phẳng \(x\ge -1\) ta được đồ thị của hàm số \(y=3x+2\)với \(x<-1\).
- Vẽ Parabol \(y=x^2-1\) với \(x\ge -1\) có đỉnh là \((0;-1)\) và đi qua hai điểm \((-1;0);(1;0)\). Xóa phần đồ thị nằm trên nửa mặt phẳng \(x<-1\), ta được đồ thị hàm số \(y=x^2-1\)với \(x\ge -1\)
Ta có đồ thị như hình sau:
a) Tập xác định: \(D=\mathbb R\)
Từ đồ thị, ta có: Hàm số liên tục tại mọi điểm \(x\ne -1\Rightarrow f(x)\) liên tục trên các khoảng \((-\infty;-1)\) và \((-1;+\infty)\)
Hàm số gián đoạn tại \(x=-1\)
b) Chứng minh:
\(f(-1)=(-1)^2-1=0\)
\(\begin{align} & \lim\limits_{x\to -{{1}^{+}}}\,f(x)=\lim\limits_{x\to -{{1}^{+}}}\,\left( {{x}^{2}}-1 \right)=0 \\ & \lim\limits_{x\to -{{1}^{-}}}\,f(x)=\lim\limits_{x\to -{{1}^{-}}}\,\left( 3x+2 \right)=-1 \\ \end{align}\)
Vì \(\lim\limits_{x\to -{{1}^{+}}}\,f(x)\ne \lim\limits_{x\to -{{1}^{-}}}\,f(x) \) nên hàm số \(y=f(x)\) gián đoạn tại \(x=-1\).