Giải bài 3.21 trang 172 - SBT Đại số và Giải tích lớp 12
Giả sử hàm số f(x) liên tục trên đoạn [-a;a]. Chứng minh rằng
\(\int\limits_{-a}^{a}{f\left( x \right)dx}=\left\{ \begin{align} & 2\int\limits_{0}^{a}{f\left( x \right)dx}\,\,\text{nếu}\, f \,\text{là hàm số chẵn} \\ & 0 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\text{nếu}\, f \,\text{là hàm số lẻ} \\ \end{align} \right. \)
Áp dụng để tính \(\int\limits_{-2}^{2}{ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)}dx\)
\(\int\limits_{-a}^{a}{f\left( x \right)dx=\int\limits_{-a}^{0}{f\left( x \right)dx}}+\int\limits_{0}^{a}{f\left( x \right)dx}\)
Đổi biến \(x=-t\)
+ Nếu \(f\) là hàm số chẵn trên đoạn [-a;a] thì \(f(-x)=f(x),\,\forall x \in [-a;a]\)
ta có: \(\int\limits_{-a}^{0}{f\left( x \right)dx}=-\int\limits_{a}^{0}{f\left( -t \right)dt}=\int\limits_{0}^{a}{f\left( t \right)dt}\)
Suy ra: \(\int\limits_{-a}^{a}{f\left( x \right)dx}=2\int\limits_{0}^{a}{f\left( x \right)dx}\)
+ Nếu \(f\) là hàm số lẻ trên đoạn [-a;a] thì \(f(-x)=-f(x),\,\forall x \in [-a;a] \). Suy ra \(f(-x)+f(x)=0,\,\forall x \in [-a;a] \)
Ta có: \(\int\limits_{-a}^{0}{f\left( x \right)dx}=-\int\limits_{a}^{0}{f\left( -t \right)dt}=-\int\limits_{0}^{a}{f\left( t \right)dt}\)
Khi đó \(\int\limits_{-a}^{a}{f\left( x \right)dx}=0\)
Áp dụng để tính \(\int\limits_{-2}^{2}{ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)}dx\)
Đặt \(g(x)=\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)\)
Vì \(g(x)\) là hàm số lẻ trên đoạn [-2;2] nên \(\int\limits_{-2}^{2}{ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)}dx=0\)
Ghi nhớ:
Cho hàm số f(x) xác định trên D.
(i) f(x) là hàm số chẵn nếu \(f(-x)=f(x)\,\, \forall \,x \in D\)
(ii) f(x) là hàm số lẻ nếu \(f(-x)=-f(x)\,\, \forall \,x \in D\)