Giải bài 3.23 trang 172 - SBT Đại số và Giải tích lớp 12
Đặt \(I_n=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin ^nxdx}, \,\,n \in \mathbb{N^*}.\)
a) Chứng minh rằng \(I_n=\dfrac{n-1}{n}I_{n-2}, \,\,\,n>2\)
b) Tính \(I_3\) và \(I_5\)
a) Xét với n > 2, ta có:
\(I_n=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin ^{n-1}x\sin xdx}, \,\,n \in \mathbb{N^*}.\)
Đặt \(\left\{ \begin{aligned} & u={{\sin }^{n-1}}x \\ & dv=\sin xdx \\ \end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned} & du=\left( n-1 \right){{\sin }^{n-2}}x.\cos x \\ & v=-\cos x \\ \end{aligned} \right. \)
Khi đó:
\(\begin{aligned} & {{I}_{n}}=-{{\sin }^{n-1}}x.\cos x\left| \begin{aligned} & \frac{\pi }{2} \\ & 0 \\ \end{aligned} \right.+\left( n-1 \right)\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{{{\sin }^{n-2}}x{{\cos }^{2}}xdx} \\ & \,\,\,\,\,=\left( n-1 \right)\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{{{\sin }^{n-2}}x\left( 1-{{\sin }^{2}}x \right)dx} \\ & \,\,\,\,=\left( n-1 \right)\left( {{I}_{n-2}}-{{I}_{n}} \right) \\ & \Rightarrow {{I}_{n}}=\left( n-1 \right){{I}_{n-2}}-\left( n-1 \right){{I}_{n}} \\ & {{I}_{n}}=\frac{n-1}{n}{{I}_{n-2}} \\ \end{aligned} \)
b)
\(\begin{aligned} & {{I}_{3}}=\frac{2}{3}{{I}_{1}}=\frac{2}{3}\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\sin xdx}=-\frac{2}{3}\cos x\left| \begin{aligned} & \frac{\pi }{2} \\ & 0 \\ \end{aligned} \right.=\frac{2}{3} \\ & {{I}_{5}}=\frac{4}{5}{{I}_{3}}=\frac{4}{5}.\frac{2}{3}=\frac{8}{15} \\ \end{aligned} \)