Giải bài 1 trang 98 – SGK Hình học lớp 10
Cho hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) có \(\left| \overrightarrow{a} \right|=3,\left| \overrightarrow{b} \right|=5,\left( \overrightarrow{a},b \right)={{120}^{o}}.\) Với giá trị nào của m thì hai vectơ \(\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}\) và \(\overrightarrow{a}-m\overrightarrow{b}\) vuông góc với nhau?
Hai vectơ \(\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}\) và \(\overrightarrow{a}-m\overrightarrow{b}\) vuông góc với nhau thì:
\(\begin{aligned} & \left( \overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b} \right) \left( \overrightarrow{a}-m\overrightarrow{b} \right)=0 \\ & \Leftrightarrow {{\left( \overrightarrow{a} \right)}^{2}}-m\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}+m\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}-{{m}^{2}}{{\left( \overrightarrow{b} \right)}^{2}}=0 \\ & \Leftrightarrow {{\left| \overrightarrow{a} \right|}^{2}}-m\left| \overrightarrow{a} \right|.\left| \overrightarrow{b} \right|\cos \left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right)+m\left| \overrightarrow{a} \right|.\left| \overrightarrow{b} \right|\cos \left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right)-{{m}^{2}}{{\left| \overrightarrow{b} \right|}^{2}}=0 \\ & \Leftrightarrow 9-25{{m}^{2}}=0 \\ & \Leftrightarrow m=\pm \dfrac{3}{5} \\ \end{aligned}\)
Vậy với \(m=\pm \dfrac{3}{5}\) thì hai vectơ \(\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}\) và \(\overrightarrow{a}-m\overrightarrow{b}\) vuông góc với nhau.
Ghi nhớ: Hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) vuông góc với nhau khi và chỉ khi \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0\).
