Giải bài 2 trang 98 – SGK Hình học lớp 10

a) Với \(\alpha =\dfrac{2}{3}\Leftrightarrow \overrightarrow{AM}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & \overrightarrow{AM}\uparrow \uparrow \overrightarrow{AB} \\ & AM=\dfrac{2}{3}AB \\ \end{aligned} \right.\)
Suy ra M thuộc đoạn AB sao cho \(AM=\dfrac{2}{3}AB.\)
Với \(\beta =-\dfrac{2}{3}\Leftrightarrow \overrightarrow{AN}=-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & \overrightarrow{AN}\uparrow \downarrow \overrightarrow{AC} \\ & AN=\dfrac{2}{3}AC \\ \end{aligned} \right.\)
Suy ra N thuộc tia đối của tia AC sao cho \(AN=\dfrac{2}{3}AC.\)

b) Ta có \(\overrightarrow{AM}=\alpha \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AN}=\beta \overrightarrow{AC}. \)

\(\begin{aligned} & \Rightarrow \overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AN}=\alpha \overrightarrow{AB}-\beta \overrightarrow{AC} \\ & \Rightarrow \overrightarrow{MN}=\alpha \overrightarrow{AB}-\beta \overrightarrow{AC} \\ & \Rightarrow \overrightarrow{MN}=\alpha \left( \overrightarrow{AB}-\dfrac{\beta }{\alpha }\overrightarrow{AC} \right),(\alpha \ne 0) \\ \end{aligned}\)
Lại có \(\overrightarrow{BC}=-\left( \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC} \right)\)
Để \(MN//BC\) thì \(\overrightarrow{MN}=k\overrightarrow{BC}\)
\(\begin{aligned} & \Leftrightarrow \beta \overrightarrow{AC}-\alpha \overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}-k\overrightarrow{AB} \\ & \Rightarrow \beta =\alpha =k. \\ \end{aligned}\)
Vậy \(MN//BC\Leftrightarrow \beta =\alpha .\)

Ghi nhớ: Nếu \(\overrightarrow{AM}=k \overrightarrow{AB}\,(k>0)\)\( \left\{ \begin{aligned} & \overrightarrow{AM}\uparrow \uparrow \overrightarrow{AB} \\ & AM=kAB \\ \end{aligned} \right.\)

               Nếu \(\overrightarrow{AM}=k \overrightarrow{AB}\,(k<0)\) thì \( \left\{ \begin{aligned} & \overrightarrow{AM}\uparrow \downarrow \overrightarrow{AB} \\ & AM=kAB \\ \end{aligned} \right.\).

Hai đường thẳng song song thì có cùng vectơ chỉ phương. Do đó  \(MN//BC\) thì \(\overrightarrow{MN}=k\overrightarrow{BC}\).