Giải bài 6 trang 99 – SGK Hình học lớp 10
Cho các điểm \(A(2;3);B(9;4);M(5;y)\) và \(P(x;2).\)
a) Tìm y để tam giác AMB vuông tại M
b) Tìm x để ba điểm A, P và B thẳng hàng.
Hướng dẫn:
a) Sử dụng tính chất \(AM\bot BM\Leftrightarrow \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM}=0 \)
b) Sử dụng tính chất \(\overrightarrow{AP}=k\overrightarrow{AB}\)
a) Tam giác AMB vuông tại M khi và chỉ khi \(AM\bot BM\Leftrightarrow \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM}=0 \)
Ta có
\(\begin{aligned} & \overrightarrow{AM}=\left( 3;y-3 \right),\overrightarrow{BM}=\left( -4;y-4 \right) \\ & \Rightarrow \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM}=-12+\left( y-3 \right)\left( y-4 \right)=0 \\ & \Leftrightarrow {{y}^{2}}-7y=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & y=0 \\ & y=7 \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned}\)
Suy ra y = 0 hoặc y = 7 thì tam giác AMB vuông tại M.
b) A, P, B thẳng hàng khi và chỉ khi \(\overrightarrow{AP}=k\overrightarrow{AB}\)
Ta có \(\overrightarrow{AP}=\left( x-2;-1 \right),\overrightarrow{AB}=\left( 7;1 \right)\)
\( \begin{aligned} \overrightarrow{AP}=k\overrightarrow{AB}&\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & x-2=k.7 \\ & -1=k.1 \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & k=-1 \\ & x=-5 \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \)
Suy ra \(x = -5\) thì ba điểm A, P, B thẳng hàng.
