Giải bài 5 trang 99 – SGK Hình học lớp 10
Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC đều ta có:
a) \(a=b\cos C+c\cos B; \)
b) \(\sin A=\sin B\cos C+\sin C\cos B; \)
c) \({{h}_{a}}=2R\sin B\sin C.\)
a) Theo định lí côsin trong tam giác, ta có \(\left\{ \begin{aligned} & \cos C=\dfrac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{c}^{2}}}{2ab} \\ & \cos B=\dfrac{{{a}^{2}}+{{c}^{2}}-{{b}^{2}}}{2ac} \\ \end{aligned} \right.\)
Từ đó, ta có
\( \begin{aligned} VP&=b\cos C+c\cos B\\&=b.\dfrac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{c}^{2}}}{2ab}+c.\dfrac{{{a}^{2}}+{{c}^{2}}-{{b}^{2}}}{2ac} \\ & =\dfrac{2{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{c}^{2}}+{{c}^{2}}-{{b}^{2}}}{2a} \\ & =a=VT \\ \end{aligned} \)
Suy ra \(a=b\cos C+c\cos B;\)
b) Áp dụng định lí sin trong tam giác ta có:
\(\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R\\ \Rightarrow \sin A=\dfrac{a}{2R},sinB=\dfrac{b}{2R},\sin C=\dfrac{c}{2R}.\)
Từ đó, ta có
\( \begin{aligned} \sin B\cos C+\sin C.\cos B&=\dfrac{b}{2R}.\dfrac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{c}^{2}}}{2ab}+\dfrac{c}{2R}.\dfrac{{{a}^{2}}+{{c}^{2}}-{{b}^{2}}}{2ac} \\ & =\dfrac{2{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{c}^{2}}+{{c}^{2}}-{{b}^{2}}}{4aR} \\ & =\dfrac{a}{2R}=\sin A \\ \end{aligned} \)
Suy ra \(\sin A=\sin B\cos C+\sin C\cos B;\)
c) Gọi S là diện tích tam giác ABC.
Ta có \(a.{{h}_{a}}=2S\Rightarrow {{h}_{a}}=\dfrac{2S}{a}\)
Mặt khác \(S=\dfrac{abc}{4R}\Rightarrow {{h}_{a}}=\dfrac{2bc}{4R}=\dfrac{bc}{2R}(*)\)
Thế \(b=2R\sin B,c=2R\sin C\) vào (*) ta được
\({{h}_{a}}=\dfrac{2R\sin B.2R\sin C}{2R}=2R\sin B\sin C.\)
Ghi nhớ:
Định lí côsin: Trong tam giác ABC bất kì với \(BC=a,CA=b,AB=c\), ta có:
\(a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\\ b^2=a^2+c^2-2ac\cos B\\ c^2=a^2+b^2-2ab\cos C\)
Định lí sin: Trong tam giác ABC bất kì với \(BC=a,CA=b,AB=c\) và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ta có:
\(\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R\)
