Giải bài 12 trang 107 – SGK môn Đại số lớp 10

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai, chứng minh rằng

\(b^2x^2-(b^2+c^2-a^2)x+c^2>0\)

Lời giải:

Hướng dẫn
Vì tam thức bậc hai \(b^2x^2-(b^2+c^2-a^2)x+c^2\) có hệ số \(a=b^2>0\) nên để chứng minh bài toán trên ta chứng minh phương trình \(b^2x^2-(b^2+c^2-a^2)x+c^2=0\) có \(\Delta <0\) với mọi a, b, c.

Đặt \(f(x) = b^2x^2 - (b^2 + c^2 - a^2)x + c^2\) ta có:

\(Δ = (b^2 + c^2 - a^2)^2 - 4b^2c^2\\ = (b^2 + c^2 - a^2 - 2bc)(b^2 + c^2 - a^2 + 2bc)\\ = [(b - c)^2 - a^2][(b + c)^2 - a^2]\\ = [b - (c + a)][b - c + a](b + c + a)(b + c - a)\)

Do \(a, b, c \) là 3 cạnh của tam giác nên \(b < c + a; c < a + b; a < b + c\)

\(⇒ b - (c + a) < 0; b - c + a > 0; b + c + a > 0; b + c - a > 0\)

\(⇒ Δ < 0 ⇒ f(x)\) cùng dấu với \(b^2>0\) hay \(f(x) > 0\,\, ∀x\) (đpcm).

Mục lục Giải bài tập SGK Toán 10 theo chương •Chương 1: Mệnh đề - Tập hợp - Đại số 10 •Chương 1: Vectơ - Hình học 10 •Chương 2: Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng - Hình học 10 •Chương 2: Hàm số bậc nhất và bậc hai - Đại số 10 •Chương 3: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng - Hình học 10 •Chương 3: Phương trình - Hệ phương trình - Đại số 10 •Chương 4: Bất đẳng thức - Bất phương trình - Đại số 10 •Chương 5: Thống kê - Đại số 10 •Chương 6: Cung và góc lượng giác. Công thức lượng giác - Đại số 10

Bài trước Bài sau

Giải bài tập SGK Toán 10

Ôn tập chương 4

Giải bài tập SGK Toán 10

Chương 1: Mệnh đề - Tập hợp Chương 1: Vectơ Chương 2: Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng Chương 2: Hàm số bậc nhất và bậc hai Chương 3: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng Chương 3: Phương trình - Hệ phương trình Chương 4: Bất đẳng thức - Bất phương trình Chương 5: Thống kê Chương 6: Cung và góc lượng giác. Công thức lượng giác

+ Mở rộng xem đầy đủ